Три шкатулки | Логические задачи

Опять на условные вероятности, у нас ещё не публиковалась!

Три шкатулки, в одной приз, две пустые. Вы выбрали шкатулку. Ведущий, который знает где приз, открывает пустую шкатулку из двух других. У Вас есть право поменять свой выбор.

Теперь вопросы.
1. Изменится ли вероятность получить приз, если Вы поменяете шкатулку?
2. Если считаете, что изменится — какая вероятность была и стала?

3. Допустим ведущий случайно выбирает шкатулку и она оказалось пустой.  Влияет ли это на ответы для 1 и 2 вопросов. Если считаете, что влияет, то как?

Три шкатулки | Логические задачи: 17 комментариев

  1. Задача очень интересная. Простая по содержанию. Но решение неожиданно противоречит обыденному здравому смыслу.
    По п.3 возможно уточнить:
    Случаи, когда ведущий случайно открывает шкатулку с призом, просто выбрасываются из статистики, не учитываются. Но ответ тоже неожиданный!

  2. For atlakatl
    По п.3 возможно уточнить:
    Случаи, когда ведущий случайно открывает шкатулку с призом, просто выбрасываются из статистики, не учитываются.
    Да, не учитываются.

  3. По первой части, мне кажется что ответ будет 50% …
    В начале когда мы делаем выбор шанс 50% (хотя вроде и из 3-х выбираем), т.к. 1-ну он точно откроет пустую, грубо мы выбираем из 2-ух О_о
    Да и по второй части мне кажется 50% ~_~

  4. Наконец-то появились комментарии!
    For lennie — так и есть, парадокс Монти-Холла. Это по вопросам 1 и 2. А как насчет 3-го?
    For pacifist — поясните Ваш ответ. Вероятность изменипась и стала 50%, тогда какая она была? Или Вы считаете, что была и осталась 50%?

  5. 1. Тут можно порассуждать. Изначально у нас шкатулка с призом и две пустых. Наш выбор шкатулки с призом вероятен на 1/3. Выбор же пустых шкатулок соответственно 2/3. Т.е. на каждую из трех шкатулок по 1/3 вероятности, что в ней приз. Мы берем любую. На оставшиеся две (не важно, пустые или нет) — остается 2/3 вероятности, что в них приз. Ведущий обязан из этих двух открыть пустую. Остается одна, в которой вероятность нахождения приза все те же 2/3. Следовательно, если ведущий предлагает сменить шкатулку, после того, как открыл пустую — нужно менять. Вероятность получить призовую шкатулку вырастет.
    2. А вырастет именно в 2 раза. При нашем выборе была 1/3, после смены шкатулок по предложению ведущего — 2/3. Звучит на первый взгляд не очень логично, но думаю, что тут может иметь место взаимосвязь событий нашего первого выбора и действий ведущего.
    3. Интересное дополнение. Вероятность того, что мы угадаем призовую шкатулку с первого раза — 1/3. Это очевидно. Далее ведущий наугад открывает шкатулку. И вот тут, видимо, отличие от начальных условий. При данном дополнении выбор каждой пустой шкатулки имеет значение. В первом же варианте выбор двух пустых шкатулок сводился в общую вероятность. Получаем, что у ведущего три варианта случайного выбора: вероятность 1/3 выбора первой пустой шкатулки, вероятность 1/3 выбора второй пустой шкатулки и вероятность 1/3 выбора призовой шкатулки. Варианты с выбором призовой шкатулки не учитываем. Ведущий не зная, какая шкатулка пустая, угадывает именно пустую, оставляя нам два равновесных варианта выбора — либо оставить свою шкатулку, взятую в начале, либо обменять ее на третью. Вероятность нахождение приза во взятой нами шкатулке и оставшейся равнозначна и составляет 1/2. Вывод следующий (с прицелом на вопросы 1 и 2) — вероятность непосредственно получить призовую шкатулку возрастет с 1/3 до 1/2, но обмен шкатулками, предлагаемый ведущим, в данном случае ничего не даст.
    С уважением, Даниил.

  6. 50% мне кажется потому, что хотя нам и дают 3 шкатулки, в итоге мы выбираем из двух. Как в начале так и в после открытия.
    Т.к. 3-я шкатулка, ну как бы выразится, что бы меня поняли… ну для отвода глаз, даёт лживую статистику. Потому, что не зависимо от того что мы выбираем, 3-я откроется и будет пустой (как специально, так и случайно), в итоге перед нами две шкатулки. т.е. 50\50.
    Думаю как-то так.
    ЗЫ: почитал ответы на предыдущие задачи, чувствую себя как турист в другой стране, который общается только с переводчиком (книжкой). 🙂

  7. For gredavik
    Первая половина ответа абсолютно правильная!
    А вот по второй — может будут ещё мнения? Я со своим ответом пока подожду.

  8. После опубликования своего решения некоторое время еще обдумывал вроде бы «нелогичность» ответа в пунктах 1 и 2, и пришел к выводу, что на самом деле все очень даже логично. Пустых шкатулок две, с призом одна. Т.е. вероятность того, что мы возьмем пустую шкатулку в 2 раза выше, чем взятие призовой. Тут играет роль сама фраза: «Мы изначально берем вероятнее всего (вероятнее в 2 раза) пустую шкатулку». Ведущий предлагает поменять — надо менять. Вероятность получить приз из оставшейся третьей — 2/3.
    А вот по-третьему пункту, когда писал выше, терзался сомнениями. Вроде бы очевидно, что ведущий, беря пустую шкатулку случайно, оставляет нам два равновероятных события — либо у нас шкатулка с призом, либо пустая. Т.е. получается шанс приза 1/2. Но может быть, именно отбрасывание случайного открытия ведущим пустой шкатулки из своих выводов и приводит к неверному ответу? Хотя вроде бы все верно. Изначально шкатулок 3. Т.е. вероятность взятия призовой — 1/3. Хотя постойте… Есть мысль. Мы же вероятнее всего возьмем пустую шкатулку. Следовательно, если ведущий случайно откроет вторую пустую, то в третьей приз. Получаем вывод: менять шкатулку надо.
    Общий вывод:
    1. Мы берем любую шкатулку. Ведущий знает, где пустая шкатулка и открывает ее нам. Предлагает поменять свою на оставшуюся. Надо менять. Вероятность попасть в шкатулку с призом вырастает в 2 раза (с 1/3 до 2/3)
    2. Мы берем любую шкатулку. Ведущий, случайно, из оставшихся двух, открывает нам пустую. Предлагает поменять нашу, на ту, которая осталась нетронутой. Надо менять. Но вероятность угадать приз вырастет не в 2 (как в первом случае), а в 1,5 раза (с 1/3 до 1/2).

  9. Не понимаю, народ, чего вы паритесь?
    Вероятность была 1/3 и если не менять — останется 1/3. Если поменять шкатулку, то снизится в два раза до 1/6, т.к. вы фактически делаете второй выбор — 1 из 2х.
    Голая математика и никакой логики(.

  10. Ursus пишет:
    23 февраля 2012 в 01:36 | edit
    Не понимаю, народ, чего вы паритесь?
    Вероятность была 1/3 и если не менять — останется 1/3. Если поменять шкатулку, то снизится в два раза до 1/6, т.к. вы фактически делаете второй выбор — 1 из 2х.
    Голая математика и никакой логики(.
    Ну очень удивительный комментарий!
    Каким образом вероятность выбора из 2-х шкатулок может стать 1/6? Тогда по Вашему, вероятность приза в 1-й шкатулке 5/6? ведь в сумме они дают 1, или Вы считаете по другому?

  11. От разместившего задачу
    Думаю, пора дать правильный ответ, может это вызовет дальнейшие дискуссии…
    При выборе другой шкатулки вероятность получить приз 2/3, при этом неважно знает ведущий в какой из них приз, важен только, что в открытой шкатулке приза нет.

  12. Вероятность изменится — сначала мы выбирали из трех шкатулок, вероятность ~33,3%.
    А когда меняем шкатулку, то выбираем уже из двух — тоесть 50\50

  13. Логика ответа Vitrus’a понятна:
    Вероятность того, что в начале мы выбрали пустую шкатулку — 2/3 (по 1/3 на каждую из пустых шкатулок) и в том случае, когда ведущий знает про пустые шкатулки, и в том, когда не знает. Мы берем свою, ведущий открывает свою, остается еще одна. Вероятность того, что в этой не открытой последней шкатулке — приз, составляет 2/3. Т.е. очевидно, что в любом случае первоначально выбранную шкатулку надо менять. Шанс получить приз при смене шкатулки повысится ровно в два раза.
    С уважением, Даниил.

  14. В том случае, если ведущий случайно открывает шкатулку и она оказывается пустой, вероятность — 1/2, как для первоначально выбранной шкатулки, так и для оставшейся лежать на столе.

  15. Т.е. мои выводы все-таки верны?

    1. Мы берем любую шкатулку. Ведущий знает, где пустая шкатулка и открывает ее нам. Предлагает поменять свою на оставшуюся. Надо менять. Вероятность попасть в шкатулку с призом вырастает в 2 раза (с 1/3 до 2/3)
    2. Мы берем любую шкатулку. Ведущий, случайно, из оставшихся двух, открывает нам пустую. Предлагает поменять нашу, на ту, которая осталась нетронутой. Надо менять. Но вероятность угадать приз вырастет не в 2 (как в первом случае), а в 1,5 раза (с 1/3 до 1/2).
    В крайнем своем посте я, видимо, изложил точку зрения разместившего задачу. Но мой вариант мне кажется более «жизненным». Случайность и неслучайность события меняет вероятность образования следующих за этим событием ситуаций. Хотя именно в этом аспекте могу и ошибаться.
    С уважением, Даниил.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *