Многомерные шары | Логические задачи

Эта задача была в тривиуме у Арнольда.

Как относится N-мерный куб к вписанному в него сферу. И, пожалуйста, без топологии, только алгеброй и анализом.

Многомерные шары | Логические задачи: 7 комментариев

  1. в случае чётной и нечётной размерности пространства будут разные ответы.
    честно говоря, не представляю, как её можно решить, не зная мат анализа. сижу, думаю.

  2. Можно решить зная геометрию и метод математической дедукции, т.е. от частного к общему. Зная, что двумерные куб и шар относятся как (2^n)/П, где n=2, предположим, что это верно для любого n. Возьмём n+1=3, т.е. трёхмерное пространство, там тоже будет (2^n)/П, где n=3. Т.е. предположение будет верно, для любого n.
    P.S. Вроде доказал, если память не подводит, как это делается.

  3. Если доказывать по методу математической индукции, то необходимо:
    проверить при каком-то конкретном n. например n=k.
    если утверждение верно для какого-нибудь n, то необходимо проверить верно ли оно для n+1 (n-1).
    Если для n+1 (n-1) утверждение тоже верно, то доказано, что утверждение верно для любых n больше (меньше) k.
    формула (2^n)/П не работает для n=1. В одномерном случае куб равен шару. отношение «объемов» 1.
    так же для n=3. объем шара (4/3)*П*a^3, а объем куба 8*a^3. отношение (3/2П).

  4. Точно! Совсем память жиром заплыла. Пришлось напрячься, освежить пямять по справочникам и… Нашел формулу гипершара для любой n-мерности пространства v=((2^((n+1)/2)*П^(n/2))/n!!)*r^n
    Объем гиперкуба для n-мерности пронстранства равен a^n , т.е. в нашем случае (2*r)^n
    Значит отношение n-мерного куба к вписанному в него сферу равно отношению этих фомул. Где r сокрашается и остаётся вполне неудомоворимая формула.

  5. to Andrew :
    проверять формулы не пробовали?
    v=( (2^((n+x)/2) * П^((n-x)/2) ) / n!!)*r^n x=1 ,n-нечетное ; x=0, n-четное
    для четных n упрощается до П^(n/2) / (n/2)! *r^n
    (получено интегрированием Vn[R]=int(V(n-1) [ (R^2-y^2)^(1/2) ] , y=-R..R)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *