Делимость кубов | Логические задачи

Изветно, что сумма натуральных чисел a+b+c делится на шесть

Докажите, что сумма кубов этих чисел так же делится на 6

Делимость кубов | Логические задачи: 9 комментариев

  1. Если число делится на 6, то оно делится на 2 и 3, и после возведения в куб, этого свойства не потеряет. И значит сумма таких чисел тоже будет делиться на 2 и 3, а значит и на 6

  2. у меня доказательство немного нудное.
    Поскольку a+b+c / на 6, то оно четно, а это значит, что либо одно из слагаемых четно, а остальные нет, либо все три четны.
    Теперь распишем куб суммы (a+b+c)^3.
    Если я нигде не ошиблась, то это будет так:
    (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*b^2*c + 3*b*c^2 + 3*a^2*c + 3*a*c^2 + 6*a*b*c (1)
    Очевидно, что левая часть уравнения (1) / на 6. 6*a*b*c — тоже / на 6.
    Далее расмотрим два предположения:
    1. Все слагаемые — четные. Тогда все суммы правой части (1) вида 3*x^2*y тоже делятся на 6. Отсюда и сумма a^3 + b^3 + c^3 также / на 6. ЧТД.
    2. Только одно слагаемое четное и допустим, что это а.
    Перепишем (1) в виде:
    (a+b+c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*b*c*(b+c) + 3*a^2*c + 3*a*c^2 + 6*a*b*c (2)
    Все слагаемые, в которых есть множитель а / на 6 (так как оно четное и в каждом таком слагаемом есть множитель 3). Слагаемое 3*b*c*(b+c) тоже / на 6. Т.к. (b+с) — четное число.
    Отсюда слагаемое (a^3 + b^3 + c^3) / на 6. ЧТД

  3. Всё это очень здорово, но хотелось бы ещё большего внимания к условию задачи 🙂
    Сумма кубов, ребята, а не куб суммы! 😉

  4. Прошу прощения, у SusAnna это учтено.
    Но по-моему куб суммы трёх слагаемых расписывается всё-таки иначе…

  5. Если число делится на 6, то оно делится на 2 и 3, и после возведения в куб, этого свойства не потеряет. И значит сумма таких чисел тоже будет делиться на 2 и 3, а значит и на 6
    В таком случае не ясен переход от первой строчки утверждения ко второй

  6. Но по-моему куб суммы трёх слагаемых расписывается всё-таки иначе…
    нашла в справочнике куб суммы двух чисел (a+b)^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3.
    Распространим на случай 3 слагаемых.
    ((a+b)+c)^3 = (a+b)^3 + 3*(a+b)^2*c + 3*(a+b)*c^2 + c^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*c + 3*a*c^2 + 3*b*c^2 + c^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*a^2*c + 3*b^2*c + 6*a*b*c + 3*a*c^2 + 3*b*c^2.

  7. В таком случае ваше решение полностью верно 🙂
    Может быть поищем теперь более простые решения?

  8. (a+b+c) mod 6 = 0 =>
    (a^3+b^3+c^3) mod 6 = (a^3+b^3+c^3 — (a+b+c)) mod 6 =
    ((a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)) mod 6 = 0 т.к. любое при любом натуральном n: (n-1)n(n+1) mod 6=0

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *