Четырехмерные фигуры | Логические задачи

В догонку к байке от Victor’a

Четырехмерный куб спроецировали на трехмерное пространство перпендикулярное оси проходящей через 2 противоположные вершины куба. Какое трехмерное тело получилось в итоге?

Задачка с университетской олимпиады по математике. Ответа я, если честно, не знаю. Тогда я долго что-то там крутил-вертел, но решил в итоге неверно. Давайте вместе попробуем. 🙂

Четырехмерные фигуры | Логические задачи: 22 комментария

  1. Мне кажется что это будет куб. Длинна его ребра будет зависеть от того, на сколько близко к его вершине расположена плоскость сечения. Пространство вернее, ведь в 4-х мерном пространстве сечение определяется равенством, которое делает из 4-х пространственных координат независимыми только 3. На эти 3 независимые величины можно натянуть 3-х мерное пространство. Длинна ребра куба (в 3-х мерном пространстве) будет изменятся от 0 до 2а, где а-это длинна ребра 4-х мерного куба. 0 — в том случае, когда плоскость сечения будет проходить через вершину, а 2а — когда плоскость(пространство) сечения будет проходить через 8 вершин 4-х мерного куба. У него кстати всего 16 вершин.

  2. навряд ли это будет куб,
    если сделать тоже самое с 3-хмерным кубом (спроецировать на плоскость), то получится шестигранник, а не квадрат
    поэтому что-то другое должно получиться

  3. спроецировать то просто, сложнее оказалось построить спроецированное. итак, пусть 4д куб задан в прямоугольном базисе, вершины: (i,j,k,l), ijkl=0,1 пусть нужно спроецировать на (1,1,1,1) . Для этого построим новую ортонормированную систему координат с одной из осей, параллельной (1,1,1,1). к примеру (1/2,1/2,-1/2,-1/2), (1/2,-1/2,-1/2,1/2), (-1/2,1/2,-1/2,1/2), (1/2,1/2,1/2,1/2). разлагаем координаты вершин по этим векторам, получаем их координаты в новом базисе, после чего отбрасываем четвертую (проецирование). остаются спроецированные координаты вершин в 3д пространстве, а именно 2 вершины (0,0,0), 6 вершин типа (2,0,0), 8 вершин типа (1,1,1) (вершины и середины граней октаэдра). остается построить фигуру с учетом граней. 1семейство граней типа (2,0,0)-(1,1,1)-(2,0,0)-(1,1,1) образуют замкнутую поверхность, другое типа(0,0,0)-(1,1,1)-(2,0,0)-(1,1,1) располагается внутри.
    если рассматривать тело,а не поверхность, то оно будет определяться 1м типом плоскостей.
    модель в 3dsmax: http://disk.tom.ru/28vdlqr (avi)

  4. Для Absolute’а:
    спроецировать то просто, сложнее…
    Правилен только второй рисунок!
    У 4D куба из вершины идет 4 ребра, а у твоего из спаренной центральной вершины выхоит 14 вместо допустимых 8 ребер. Вершины посчитаны верно, а вот внутренние ребра будут чуть по-хитрее.
    А название этому телу — Ромбододекаэдр см. wiki

  5. 2 vestran
    для тех, кто знаком с прямым произведением множеств дать понятие 4-х мерного пространства не стоит труда.
    В любом случае. Рассмотрим пространство, натянутое на вектор. Ls{a*X, где аЄR, а X-не нулевой вектор}={обозначим за}=R^1. R c верхним индексом 1. Читается «пространство R-один» или просто «R-один». Что это за пространство? Возьмём вектор и будем его умножать на любые вещественные числа. Множество точек которое мы получим — это вещественная прямая (кстати вектор — это 2 точки: начало и конец). Или пространство вещественных чисел.
    Рассмотрим пару чисел (X,Y) где Х,Y Є R^1. И рассмотрим все такие пары. Получим пространство, состоящее из упорядоченных пар (X,Y), это и есть прямое произведение двух пространств R^1. Его обозначают знаком «х». Тогда R^1 x R^1 =R^2.
    Если пространство R^2 (которое можно интерпретировать как плоскость) ещё раз умножить прямо на R^1, то получим пространство R^3. Это евклидово пространство, в котором и работает евклидова геометрия, которую изучают в школе.
    А что если ещё раз умножить на R^1 ? Мы получим пространство R^4. это четырёхмерное пространство. То, в котором и будем определять гиперкуб. Здесь 4 пространственных компоненты Х1 Х2 Х3 Х4.
    Сразу скажу одно замечание. В физике часто говорят, что работают в 4-х мерном пространстве. И вообще можно слышать, что четвертая размерность — это время. И вроде бы как понятно, что именно имелось ввиду, вот есть 3 измерения и к ним ещё время прикрутили перпендикулярно остальным всем. И можно было бы подумать, что такое пространство-время, где есть 3 пространственных компоненты и одна временная компонента, и есть наше R^4. Но это не так. Пространство-время не эквивалентно пространству R^4. Разгадка кроется в другой метрике. В пространстве R^4 используется евклидова метрика. А в пространстве Минковского (так оно называется) могут использоваться две эквивалентные метрики, имеющие существенные различия по сравнению с евклидовой. Обе метрики имеют различные сигнатуры, но существенной разницы в них нет.
    Теперь в новоопределенном пространстве R^4 определим куб. У нас в распоряжении есть 4 координаты x1,x2,x3,x4. Четырехмерный куб с ребром а и центром в точке (Xo1,Xo2,Xo3,Xo4) будет определяться неравенством: -а/2<=Xi-Xoi<=a/2, i=1..4.

  6. NLO, дааа, ты так просто и подробно это объяснил, тебе бы детей в школе учить.
    Сначала определим, что такое четырехмерное пространство. Одно измерение — это одномерное пространство, два — двух, три — трех, четыре — четырехмерное, а теперь внимание, 4D куб — это куб в четырехмерном пространстве… опа, смотри я тоже так умею, только у меня чушь эта получилась в 3 строки.
    И кстати не надо на физиков наезжать. Пространство-время — это такое же четырехмерное пространство, каждое измерение которого тоже имеет вектор, координаты и начало отсчета со всеми свойствами ортогональности. Я лично вам открою секрет: время — это тотже вектор, только вы его не видите. Перечитайте прямое произведение множеств, может там сказано про вектор времени

  7. у меня есть другие мысли по этому поводу
    еслли задать куб как несколько плоскостей…
    нормали к этим плоскостям задать как единичные вектора 4 мерного пространства
    (нам не указывали как ориентирован куб, сорентируем как нам угодно)
    угол куба — точка в которой пересекаются грани, или точка вектора суммы всех единичных векторов
    распишем то, что имеем
    нормали N1={1,0,0,0} N2={0,1,0,0} N3={0,0,1,0} N4={0,0,0,1}
    проецирующие верктора Pr={1,1,1,1} и -Pr
    проецирование рассмотрим как скалярное произведение умноженное на длину проецируемого вектора
    далее мне лень считать, но надеюсь мысль ясна.

  8. to Paunch :
    ребер действительно по 4 из каждой вершины. из центра выходит 8 ребер( направления (111) ), еще 6 — не ребра, а пересечения плоскостей (направления (100) )

  9. idr-ildar, пропуская мимо ушей ваше ехидство, буду отвечать на ваш комментарий. И можете называть меня на вы. Я с вами лично не знаком.
    Детей я и так учу, только не в школе, а в лицее. И упреждая ваш вопрос, результаты моего обучения второй год к ряду весьма успешные.
    Далее в вашем тексте огрех. «4D куб — это куб в четырехмерном пространстве». Куб — это куб. Тут даже придраться негде. 0=0 тоже очевидный факт, только информативности в нем минимум. Я же определил пространство, в котором буду работать, и дал явное определение 4-гиперкуба в этом пространстве.
    В моем предыдущем комментарии в первом абзаце я описал процедуру построения евклидова пространства, а во втором сказал, что пространство-время не эквивалентно 4-х мерному эвклидову пространству. Вы этот момент, судя по всему, пропустили. Я сказал, что эти пространства имеют различную метрику. Так о какой ортогональности оси времени к пространственным осям может идти речь, если там другая метрика? Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение — отображение, удовлетворяющее некоторым требованиям.
    http://wikipedia.tomsk.ru/ru.wikipedia.org/wiki/Скалярное_произведение
    Подробнее смотрите вопрос о метрическом тензоре. В евклидовом пространстве это квадратная матрица ранга n, где n это размерность этого пространства. На главной диагонали стоят единицы, в ином случае нули. По этой метрике можно построить скалярное произведение. В двумерном евклидовом пространстве (A,B)=1*Ах*Вх+0*Ах*By+0*Ay*Bx+1*Ay*By=Ax*Bx+Ay*By это отображение удовлетворяет условиям скалярного произведения.
    В пространстве Минковского, в том самом пространстве-времени, в котором чаще всего работают физики, другая метрика. Это матрица 4х4, 4-это размерность пространства. На главной диагонали стоят (-1,1,1,1) или (1,-1,-1,-1). Индуцированные по этим эквивалентным метрикам нормы. (A,B)=(+/-)[Ao*Bo-A1*B1-A2*B2-A3*B3] не являются скалярными произведениями, в силу отсутствия свойства положительной определённости. И равенство 0 этой нормы никак не определяет ортогональные вектора. Введите скалярное произведение и в нем говорите об ортогональности.
    Ваша проблема, на мой взгляд, в том, что вы считаете, что указание количества размерности у пространства определяет его свойства. Если задан алгоритм увеличения размерности пространства путём домножения прямо на R, то это так и есть. Метрика определена подобным образом во всех пространствах, и поэтому у них похожие свойства. Но вы не видите тот факт, что существуют пространства одинаковой размерности, но у этих пространств разные свойства. Вы считаете, что четырёхмерное евклидово пространство так же устроено как и пространство-времени. Но это не так. И это не я вам секреты тут рассказываю. А это так и есть.
    http://wikipedia.tomsk.ru/ru.wikipedia.org/wiki/Пространство_Минковского
    Для примера сфера в трехмерном пространстве — это двумерная поверхность, у неё свойства явно иные, чем свойства плоскости. Тор, или бублик, это прямое произведение двух одномерных сфер, или окружностей. Тор — это тоже двумерное пространство. И у него свойства топологические явно отличные от сферы или плоскости. Сфера в четырёхмерном пространстве — трёхмерное пространство и свойства этого пространство существенно иные, чем у трёхмерного евклидова пространства. Так и у пространства минковского и R^4 одинаковые размерности, но разные свойства.
    Время не совсем вектор. Это компонента вектора, причём входит, будучи умноженным на с — скорость света, для сохранения вектора. И вообще, что такое вектор? В матфизике есть прикольное определение. Вектор — это тензор первого ранга. На обычном языке вектор-это то, что преобразуется как вектор.
    «Перечитайте прямое произведение множеств, может там сказано про вектор времени» — это к чему?
    И на физиков я не наезжал. Это была иголка тем, кто услышав пару умных слов, мнит себя полностью разбирающимся в материале. Хотя слова их весьма и весьма нелепы. Если вы сейчас подумали, что это о вас, значит вы себя так позиционируете, а не я.

  10. По ходу будет такое(не знаю как «такое» правильно называют в геометрии): представте куб на который наложить еще один такой же, а потом(етот второй) повернуть относительно первого на 45 град. в плоскости осей XY, а потом еще раз, тоже под 45 град. XZ; а потом угли етого второго соденить с четирьмя углами стороны над которой они поднялись, получится нечто вроде пирамидок над каждой из сторон первого. Все вроде сходится, стороны углы, и т.д. P.S. Попробуйте тесаракт спроектировать на плоскость! Получается ОЧЕНЬ забавний обект! Пишыте мне: IIADII@yandex.ru

  11. Очень рад, что узнал кто такой NLO
    По другим ответам на другие загадки, тоже видно, что-то от «безумного учёного». Извините, обидеть не хочу. У меня в школе такой учитель был, что на любой вопрос даст такой заумный ответ… Парни у виска крутили, а девчонки влюблялись.
    Мой ответ простой — будет точно такойже «куб», т.к. четырёхмерное пространство лишь теоретически существует. Вопрос этот на сравнении трёх и двухмерного пространства. Сравнивая как квадрат будет виден в трёхмерном пространстве, как бы он в нём не находился, отвечаем «квадрат».

  12. для возможности осознания четырехмерности необходимо понимать суть четвертого измерения, для этого полезно изучить эту работу : ru.up0.org/ph.html
    ( другого способа нет )

  13. б..@..ь, сколько же х48#и в интернете. теперь ещё и сюда тянут 🙁
    я думал это блог для тех, кто умеет думать, а не тех, у кого опилки вместо мозгов.

  14. кстати, про задачу.
    рассмотрим 4х мерный куб в координатах (x1,x2,x3,x4) с ребром длины 1.
    тогда 0<=x1,x2,x3,x4<=1. диагональ соединяющая вершины (0,0,0,0) и (1,1,1,1) параллельна вектору (1,1,1,1). Рассмотрим частное решение: сечение проведем через точку (0.5,0.5,0.5,0.5). А потом обобщим выкладки. В этом случае сечение определяется уравнением: 1*(x1-0.5)+1*(x2-0.5)+1*(x3-0.5)+1*(x4-0.5)=0 (см. учебники по линейной алгебре) или x1+x2+x3+x4=2 (1) x4 лежит в интервале [0,1] тогда из уравнения (1) получаем два граничных случая: x1+x2+x3=2 (2а) и x1+x2+x3=1 (2б) это уравнения плоскостей, которые пересекают трех мерный куб. Тогда искомое сечение будет заключаться в области ограниченной трехмерным кубом и двумя плоскостями (2а) и (2б) В общем же случае уравнения плоскостей имеют вид x1+x2+x3=a и x1+x2+x3=a+1, где а характеризует положение сечения четырем мерного куба.

  15. Тогда искомое сечение будет заключаться в области ограниченной трехмерным кубом и двумя плоскостями (2а) и (2б)
    про какой трехмерный куб идет речь? у которого 0<=x1,x2,x3<=1?

  16. получится пирамида в основании которой лежит равносторонний шестиугольник. доказать не могу, но подсознание выдало этот ответ. смоделируйте в 3дсмакс если не верите

  17. ( другого способа нет )
    Что может быть проще чем четыре вектора и каждый перпендикулярен другому? 🙂
    Не нужно наделять 4х и более мерное пространство мистическими свойствами. Всё гораздо проще.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *