0,(9) | Логические задачи

Дамы и господа! Однажды я задался вопросом: а так ли рациональны рациональные числа? И вот что пришло мне в голову: 0,(9). Дробь периодическая, значит — число рациональное. Как известно, между двумя рациональными числами можно найти ещё одно. Так вот: какое рациональное число стоит между 0,(9) и 1? Это не вся задача — буду выкладывать дальнейшие рассуждения по мере решения. Очень прошу — не гуглите и не открывайте учебник Мордковича за 7(или 8?) класс. Я это делал, когда уже сам разобрался.

0,(9) | Логические задачи: 20 комментариев

  1. Запись 0,(9) подразумевает бесконечное число знаков после запятой, ведь так?
    Тогда средним арифметическим будет 0,(9)5, то есть бесконечность-плюс-первым знаком после запятой будет стоять 5.
    Звучит глупо, но это то что первым приходит в голову. %)

  2. 2 ELF:
    предположим, что запись 0,(9)5 нас не пугает 🙂
    рассмотрим:
    0.(9)<0,(9)5<1
    0.(9)<0,(9)5<0.(9)9=0.(9)
    получили противоречие: 0.(9)<0.(9).

  3. Математики всего мира признают, что 0,(9)=1
    Ну можно вот такое док-во привести:
    1/3 = 0,(3)
    1=3/3=3*0,(3)=0,(9)
    Рассуждения NLO если немного обобщить тоже можно считать доказательством этого факта

  4. «Математики всего мира…» Сами бы… А скажите-ка мне, нельзя ли сказать, что число 0,(F) в шестнадцатиричной системе больше, чем 0,(9) в десятичной? Не это ли искомое число? Док-во, приведённое выше, не повторяйте как доказательство и этого факта, поскольку не исключены противоречия в аксиомах традиционной математики.

  5. 0,F так же равно 1. Это прсото другая запись того же 0,9
    0.F больше чем шестнадцатиричное 0,9, но равно десятичному 0,9

  6. Уважаемый Korney G — задачи получаются высосанными из пальца.
    Тождественность 1 и 0,(9) уже указал Victor.
    Замечу, что в некоторых курсах математического анализа числа вида x.(9) не считаются рациональными и рассматриваются отдельно (показывается, что это другая запись х+1 и на этом на них забивают)
    По системам:
    1) Перевод из 16 в 10
    0.(F) = 0.F + 0.0F + 0.00F + … F * 16^(-n)
    0.(F) = 15*16^(-1) + 15*16^(-2) + … + 15*16^(-n)
    x = 0.(F) = 15 * (16^(-1) + 16^(-2) + … + 16^(-n))
    x/15 = 16^(-1) + 16^(-2) + … 16^(-n)
    x*16/15 = 16^(0) + 16^(-1) + 16^(-2) + … 16^(-n)
    x*16/15 = 1 + x/15
    15*x/15 = 1
    x = 1.
    2) Без перевода
    x = 0.(F)
    10*x = F.(F)
    10*x = F +x
    (10-1)*x = F
    F*x = F
    x = 1.
    Может я не понимаю в чем состоят вопросы и задачи?

  7. Н-да, немного не то.. Ну да ладно. А теперь, если не лень, попробуйте доказать, что число 0,(9) (именно в такой записи!) нельзя получить делением в столбик целого числа на натуральное.

  8. Только после того, как вы докажите, что x*x = «икс в квадрате» (именно в такой записи!)
    Да, я издеваюсь.
    Нет, это точно такой же самый случай.
    1(целое)/1(натуральное) = 1 = 0.(9)
    Перевод «по правилам» из бесконечной десятичной в обычную дробь:
    p = 0.(a1a2a3…an)
    Например для 0.(137) а1 = 1; а2 = 3; а3 = 7; n = 3
    0.(a1a2a3…an) * 10^n = a1a2a3…an.(a1a2a3…an)
    p*10^n = p + a1a2a3…an
    p*(10^n — 1) = a1a2a3…an
    p = a1a2a3…an / (10^n — 1)
    a1a2a3…an — целое
    10^n — 1 — не умаляя общности натуральное
    p — искомая дробь.
    В нашем случае n = 1, a1 = 9
    Получаем дробь 1/1.

  9. 0,(9) = 0,9 + 0,09 + 0,009 + …
    Рассмотрим это число как сумму убывающей геом. прогрессии. Тогда:
    b0 = 0,9 (первый член)
    q = 0,1 (знаменатель прогрессии)
    Выразим сумму как частное по известным формулам:
    0,(9) = 0,9 + 0,09 +… = S(0,9 ; 0,1) = b0 / (1-q) = 1
    Вышеизложенное и есть представление бесконечной десятичной дроби в форме правильной. То же самое изложил и nogard, только я использовал готовую формулу, а он сделал её вывод прямо входе решения. Надеюсь вы не попросите меня сейчас доказывать верность этой формулы (я знаю доказательство, как и любой кто в школе учился а не просто отсиживался на уроках. Оно элементарно. К тому же, как я уже сказал, доказательство этой формулы содержится в решении nogard»a)
    P.S. Я не буду говорить что задача высосана из пальца, но можно было сделать её интересной и наполненной смылсом, если бы вы представили софистической доказательство заведомо неверного факта (ну например что 1 > 0,(F) hex > 0,(9) dec ) и заставили бы нас его опровергать. В этом было бы некое остроумие, а сейчас мы уходим в настоящее издевательство

  10. и вообще 0.(9) — вещественное, а 1 — рациональное.
    они эквивалентны, но пренадлежат разным множествам.

  11. Korney G пишет:
    «…Как известно, между двумя рациональными числами можно найти ещё одно».
    ЭТО НЕВЕРНО!
    между двумя РАЗНЫМИ рациональными числами можно найти ещё одно, а Korney G пусть найдет между 0 и 0 еще одно число. 0,(9) — это просто другая запись для 1, которых можно привести сколько угодно: 1/1, 2/2, cos(0), I (римскими цифрами).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *