3 сундука | Логические задачи

В честь дня программиста на Хабре промелькнула интересная задачка и споры вокруг нее все еще идут 😉

У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки.

В первом — две золотых.
Во втором — две серебрянных.
В третьем — одна золотая и одна серебрянная.

Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?

3 сундука | Логические задачи: 14 комментариев

  1. Заранее извиняюсь за возможно длинный комментарий.
    Для начала стоит сказать, что я очень люблю задачи с вероятностями и очень не люблю когда люди пытаются их решать на основе «здравого смысла». Дело не в том, что я не люблю здравый смысл, а в том, что не надо выдавать свою логику за него — логику можно подкрепить доказательствами, в отличии от «здравого смысла». Людей, которые не понимают парадокс Монти-Холла я не уважаю.
    Данная задача, как и много других основана на том, что многие люди очень не аккуратно относятся к двум понятиям из теорвера — условная вероятность и абсолютная вероятность. Если вкратце, то абсолютная вероятность — это вероятность того, что какое-то событие наступило все зависимости от внешних факторов, а условная — вероятность того, что событие наступило при каком-то условии.
    Пример неправильного рассуждения: нам требуется найти вероятность того, что вторая монетка в сундуке тоже золотая, таким образом необходимо найти вероятность того, что в сундуке обе монетки золотые. Из трех сундуков всего один с двумя золотыми монетами, а значит вероятность 1/3.
    Это не правильное решение! Оно оперирует абсолютной вероятностью, подменяя условную.
    Для начала используем один из самый простых принципов — дополнение вероятности до 1. Пусть искомая вероятность p. Вероятность какого события описывает (1-p)? По условию задачи получаем, что это вероятность того, что вытащив первую монетку золотой, вторая окажется серебряной. Таким образом выбор идет из двух сундуков — в одном две золотые монетки, а в другом две разных. На каждый их сундуков приходится равная возможность выбора. Вот и получается что p = 1-p => p=1/2. Получилось гротескное решение, но данное решение легко исправить в случае с задачей с разным количеством разных сундучков.
    Чуть менее очевидный, но не менее правильный путь — раз первая монетка заведомо золотая, то из задачи нужно исключить все сундуки без золотых монет — они не будут влиять на вероятность.

  2. В честь дня программиста на Хабре промелькнула интересная задачка и споры вокруг нее все еще идут 😉
    Как могут идти споры вокруг задачи школьного уровня (сейчас в школе проходят теорию вероятностей). Ответ одна вторая следует просто из определения условной вероятности. Наш сайт себя позиционирует как theДжем.ru — сайт для тех, кто умеет читать и думать.
    А на Хабре как ;)?

  3. Специально залез на хабр и посмотрел дискуссию.
    Два возможных ответа 1/2 и 2/3. Самое интересное, что оба они верны. Просто разный контекст.
    Для начала, обратим внимание на слово «вслепую» и на то, как указан список сундучков из условия задачи. Именно это дает кривотолк.
    Теперь обещанные контексты.
    1) Для которого ответ 1/2.
    В сундучках монеты лежат так как указано в задаче, но понумерованно:
    в первом сундуке: 1: золотая 2: золотая.
    во втором сундуке: 1: серебряная 2: серебряная.
    в третьем сундуке: 1: золотая 2: серебряная.
    В первый раз мы вытягиваем первую монету. «Вслепую» читаем как «мы не смотрим в сундук» (т.е. мы не знаем какая монета вторая).
    В задаче не сказано, что монеты понумерованы, но указанный список это подразумевает.
    2) Для которого ответ 2/3.
    Все остается как есть в условии, но монеты в сундучка не пронумерованы (для этого описание третьего сундучка меняем на «по одной монете из золота и серебра» и слово вслепую мы дополняем словом «наугад»).
    Тогда вероятности действительно распределяются как 2/3, 0 и 1/3.
    Сейчас, когда я уже рассмотрел оба контекста, то я согласен, что второй выглядит более математическим, но при первом прочтении задачи я понял именно первый. Если бы такая задача попалась на серьезной олимпиаде, то гарантированно был бы задан вопрос о том как именно достают монеты и тогда вопроса о контексте бы не возникало.

  4. Я бы не сказал, что в задаче речь идет о «пронумерованных» или «упорядоченных» монетках 😉

  5. 1/2
    Поясняю:
    Золотые монеты лежат ТОЛЬКО В ДВУХ сундуках. И раз Вы уже вытащили золотую монету, то у Вас остаётся лишь две возможности (ВЕДЬ СУНДУК ТОТЖЕ): вторая либо серебряная, либо золотая.

  6. Ogra
    Точно также как вы не считаете, что в задаче идет речь о «пронумерованных» монетках, так же я не посчитал, что монетка вытаскивается случайным образом => пронумеровал их. Соответственно получаем 1/2.
    Если ОЧЕНЬ сильно не нравится такое решение, то потрудитесь исправить задачу, например как указано в моем предыдущем сообщении.

  7. Ogra, где твои контр аргументы? В чём я ошибся? Я соберу людей, которые скажут, что я прав… Аргументируйте…

  8. nogard, т.е. «вслепую» для вас ничего не значит? И отсутствие, например, числительных (первый, первая) ? Все-таки сундук — это не стопка.
    vestran, мнение толпы — не есть правильный ответ 😉 Чаще даже наоборот.

  9. «Вслепую» для меня значит что мы не смотрим в сундук. Это позволяет вообще говорить о вероятности, иначе я просто увижу вторую монету и со 100% вероятностью скажу золотая она или серебряная. А числительные есть в списке сундуков.
    Самое забавное, что именно о слове «вслепую» и о числительных я написал ранее. Похоже, что мои комментарии вы читаете по диагонали.

  10. Не отказываясь от своего предыдущего комментария, признаю свою ошибку в вычислениях, сделаных наспех в уме.
    Итак есть три сундука с монетами ЗЗ, СС, СЗ. Выбрана монета З. Какова вероятность, что она выбрана из сундука с монетами ЗЗ — вот условия задачи, однозначно соответствующие тому, что вторая монета -З. Монета З выбрана из сундуков с ЗЗ или СЗ. Ясно, что вероятность выбора из 1-го в 2 раза больше => 2/3

  11. nogard, вы же знаете парадокс Монти-Холла, вы писали об этом. Помните одно из объяснений этого парадокса? Тут тот же приём можно использовать.
    Представьте, что у нас 3 сундука. В одном — 100 серебрянных монет, в другом — 100 золотых, а в третьем — 1 золотая и 99 серебрянных. Мы выбрали сундук и вытащили монету. Она оказалась золотой. Вероятность чего больше — что это второй сундук или третий? Неужели одинаково?
    То же самое и в нашей задаче. Вопрос сводится к следующему: какая вероятность больше — вытащили мы эту монету из двух золотых или из серебрянной и золотой?

  12. Вспомнился анекдот:
    — Какава вероятность того, что вы выйдете на улицу и встретите динозавра?
    — 50% — либо встречу либо нет

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *