Геометрический софизм | Познавательно

рассмотрим треугольник ABC с основанием АС

Соединим серидину основания с серединами боковых сторон

Так как AD=FE=AB/2 и DE=FC=AВ/2, то

AB+ВC=AD+DE+EF+FC

Иначе говоря, сумма длин сторон AB и BC равна длине L ломаной, обозначенной зелёным цветом

Повторим теперь ту же операцию для треугольников ADE и EFC

Ясно, что длинна ломоной L остаётся неизменной, независимо от количества проделанных операций.

При устремлении количества операций к бесконечности, ломанная L устремляется к стороне AС

В пределе поучаем: L=AC

Но L=AB+BC => AB+BC=AC, или, иначе говоря

Сумма длин двух сторон треугольника равна длине третьей стороны

Геометрический софизм | Познавательно: 13 комментариев

  1. Весь фокус именно в бесконечном числе операций. Только в бесконечности часть равна целому, как аналогия: где в треугольнике больше геометрических точек — на основании или на средней линии?

  2. Есть подобное доказательство, что длина диагонали в прямоугольнике равна сумме сторон этого прямоугольника. Вся фишка как раз в попытке приравнять ломаную линию к прямой, чего ни в каком пределе сделать нельзя.

  3. Вся фишка как раз в попытке приравнять ломаную линию к прямой, чего ни в каком пределе сделать нельзя.
    С этим согласен

  4. Serge, если бы доказательство было правильным, то неправильной была бы наша геометрия 🙂
    В школе то нас убеждают что a+b>c

  5. При устремлении количества операций к бесконечности, ломанная L устремляется к стороне AС
    Ошибочная логика именно в этой фразе.
    На самом деле L никогда не сольется с AB, как верно сказал ELF.
    Я как раз и имел ввиду что применение пределов в данном случае условно, как например в правильном многоугольнике с бесконечно большим числом сторон, его условно можно считать окружностью. Так же и здесь.

  6. zxsa, ну так математики условно считают правильный n-угольник окружностью и пользуются этим для выведения формулы площади круга )
    Как сказал наш учитель:
    «Вы с пределами то поакуратней будьте. А то можно доустремлять всё до того, что сумма двух сторон треугольника будет равняться третьей…»
    🙂

  7. Косяк в доказательстве заключается в том, что длина ломаной L всегда остается постоянной, какое бы n мы ни брали (следует из условия задачи). Предел константы равен константе.
    Так как L < AB+BC для любого n, то по теореме о предельном переходе при n -> в бесконечность lim L <= lim (AB+BC), откуда получаем, что L <= AB+BС. Из чего, вообще говоря, никак не следует, что L=AB+BC. С другой стороны, из того, что L < AB+BC, следует, что L <= AB+BС, так что никакого противоречия нет

  8. Китана, исправил условия
    Предел константы равен константе.
    Именно! В этом то всё и дело. В случае с окружность периметр n-угольника меняется, и на самом деле устремляется к длине окружности, а в этом случае — нет

  9. мне кажеться здесь дело не в пределе.
    возьмем любую точку на кривой. с каждой новой операцией растояние от этой точки до прямой либо неизменяеться либо уменьшаеться, то есть данная f(точка) — монотонно убывает и ограниченна 0, а следовательно имееться lim f(точка)-n->бесконеч->0. т.е. любая точка кривой при n стремящейся к бесконечности стремиться к точке на прямой. тоесть кривая стремиться к прямой.(!)
    здесь дело в другом. из того что lim (длина(L)) = ас и длина(L)= ab+bc НЕ СЛЕДУЕТ!!! что ас=ав+вс(т.к колличество операций стремиться к бесконечности(более lim (длина(L)) = ab+bc для n стремяшегося к N < бесконечности))! Так?

  10. тут дело в том что ломаная L стремится к AB (lim L->AB) т. е. будет близко близко от неё находится, естественно L никогда не станет AB, здесь ссылаются на то что ближайшую прямую т.е. AB рассматривают как ближайшее целое значение, вот вроде в чем дело

  11. Ну да, дело в бесконечном числе итераций, нужно рассмотреть предел.
    Кстати, подозреваю что доказательство-то правильное, просто оно не доведено до конца 🙂

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *