СТАТУС: РЕШЕНО
Алиса нашла 2009 корней уравнения
f(14x — 96/x) = a
Докажите, что она нашла не все корни
сайт для тех, кто умеет читать и думать. Логические задачи.
сайт для тех, кто умеет читать и думать. Логические задачи.
СТАТУС: РЕШЕНО
Алиса нашла 2009 корней уравнения
f(14x — 96/x) = a
Докажите, что она нашла не все корни
Просто решаем данное уравнение. Делаем замену y=14x — 96/x;
Находим все возможные y для f(y)=a, пусть их будет t;
Теперь, чтобы найти все решения x нужно решить t уравнений вида
y_i = 14x — 96/x (y_i — y с индексом i)
Преобразуем:
(14x^2 — y_i*x — 96)/x = 0
Деление на x не вносит и не убирает решений, т.к. ноль изначально исключен из области значений.
Очевидно, что полученный полином имеет ровно два корня (например по дискриминанту).
Для разных значений i, очевидно, корни x разные.
Таким образом всего 2t решений относительно x, а 2009 нечетное число.
По определению, каждому существующему (14x — 96/x) соответствует одно или несколько a.
(14x — 96/x) принимает бесконечное множество пар решений (кроме х=0) => f(14x — 96/x) = a имеет бесконечное число корней. [бесконечность] > 2009 => Доказано.
«(14x — 96/x) принимает бесконечное множество пар решений»
что простите?
решение nogard верно. разве что не всем очевидно, что разным значениям у всегда соответсвую разные решения х, и х из разных пар никогда не совпадут. Но это уже мелоче, на мой взгялд это доказывается достаточно легко чтобы называться очевидным.
Принимается )
a = f(b). По определению, каждому из тех значений, которые может принимать b, соответствует одно или несколько значений a.
b = 14x — 96/x.
x может принимать бесконечное количество различных значений => b также может принимать бесконечное количество различных значений, т.к. функция (y = 14x — 96/x) не дискретна и возрастает на всей области определения (y’ = 14 + 96/x^2).
бесконечность > 2009 => Доказано.
з.ы. Формулировка задания требует показать, что количество корней более 2009, для этого вовсе не обязательно доказывать их четность.
2Zusul: 14x — 96/x =5 , найди корни
2 Zusul: вроде как х все ищут
Zusul,
Думаю, что вы неправильно поняли условие задачи. Скорее всего, если добавить «a = const», то вы поймете, что именно требовалось в задаче.
да, действительно
а это параметр. оно не меняется
х то может бесконечное число значений принимать, но не все они будут корнями данного уравнения
Не вчитывалась в решения, но:
Решение nogard не сработает в 2010 году. Ход мыслей Zusul верен, может он и неясно выражается.
Достаточно взять любой отрезок, на котором 14x-96/x непрерывна и показать, что на этом отрезке f уже имеет бесконечное кол-во решений.
Например на отрезке [1; 2] функция 14x-96/x непрерывна и принимает бесконечное множество решений [14-96; 28-48]. То есть для всех х из [-82; -20] f(x)=a. Поскольку на любом отрезке находится бесконечное множество точек, то и f имеет не менее бесконечного кол-ва решений.
А еще Алиса убила Бармаглота 🙂
kmuntianu:
Не вчитывался в решение, но:
Ваше решение не работает в любом году в котором пользователи умеют читать комментарии. Достаточно будет предыдущего — http://thejam.ru/uncategorized/2009-kornej-da-byt-etogo-ne-mozhet.html#comment-9809
Ваш сарказм настолько прикрытый, что даже не заметен 😉
Я плохо прочитала условие. Всегда этим страдаю. Подумала, что это определение функции, а не уравнение. Да-да, глупость конечно. Ваше решение безусловно верное.
Я просто не мог отказать себе в этом. Я рад, что вы не в обиде =)