Просто решаем данное уравнение. Делаем замену y=14x - 96/x;
Находим все возможные y для f(y)=a, пусть их будет t;
Теперь, чтобы найти все решения x нужно решить t уравнений вида
y_i = 14x - 96/x (y_i - y с индексом i)
Преобразуем:
(14x^2 - y_i*x - 96)/x = 0
Деление на x не вносит и не убирает решений, т.к. ноль изначально исключен из области значений.
Очевидно, что полученный полином имеет ровно два корня (например по дискриминанту).
Для разных значений i, очевидно, корни x разные.
Таким образом всего 2t решений относительно x, а 2009 нечетное число.
По определению, каждому существующему (14x - 96/x) соответствует одно или несколько a.
(14x - 96/x) принимает бесконечное множество пар решений (кроме х=0) => f(14x - 96/x) = a имеет бесконечное число корней. [бесконечность] > 2009 => Доказано.
"(14x - 96/x) принимает бесконечное множество пар решений"
что простите?
решение nogard верно. разве что не всем очевидно, что разным значениям у всегда соответсвую разные решения х, и х из разных пар никогда не совпадут. Но это уже мелоче, на мой взгялд это доказывается достаточно легко чтобы называться очевидным.
Принимается )
a = f(b). По определению, каждому из тех значений, которые может принимать b, соответствует одно или несколько значений a.
b = 14x - 96/x.
x может принимать бесконечное количество различных значений => b также может принимать бесконечное количество различных значений, т.к. функция (y = 14x - 96/x) не дискретна и возрастает на всей области определения (y' = 14 + 96/x^2).
бесконечность > 2009 => Доказано.
з.ы. Формулировка задания требует показать, что количество корней более 2009, для этого вовсе не обязательно доказывать их четность.
Не вчитывалась в решения, но:
Решение nogard не сработает в 2010 году. Ход мыслей Zusul верен, может он и неясно выражается.
Достаточно взять любой отрезок, на котором 14x-96/x непрерывна и показать, что на этом отрезке f уже имеет бесконечное кол-во решений.
Например на отрезке [1; 2] функция 14x-96/x непрерывна и принимает бесконечное множество решений [14-96; 28-48]. То есть для всех х из [-82; -20] f(x)=a. Поскольку на любом отрезке находится бесконечное множество точек, то и f имеет не менее бесконечного кол-ва решений.
Ваш сарказм настолько прикрытый, что даже не заметен ;)
Я плохо прочитала условие. Всегда этим страдаю. Подумала, что это определение функции, а не уравнение. Да-да, глупость конечно. Ваше решение безусловно верное.
19 февраля 2010 в 22:10
Просто решаем данное уравнение. Делаем замену y=14x - 96/x;
Находим все возможные y для f(y)=a, пусть их будет t;
Теперь, чтобы найти все решения x нужно решить t уравнений вида
y_i = 14x - 96/x (y_i - y с индексом i)
Преобразуем:
(14x^2 - y_i*x - 96)/x = 0
Деление на x не вносит и не убирает решений, т.к. ноль изначально исключен из области значений.
Очевидно, что полученный полином имеет ровно два корня (например по дискриминанту).
Для разных значений i, очевидно, корни x разные.
Таким образом всего 2t решений относительно x, а 2009 нечетное число.
19 февраля 2010 в 23:00
По определению, каждому существующему (14x - 96/x) соответствует одно или несколько a.
(14x - 96/x) принимает бесконечное множество пар решений (кроме х=0) => f(14x - 96/x) = a имеет бесконечное число корней. [бесконечность] > 2009 => Доказано.
19 февраля 2010 в 23:12
"(14x - 96/x) принимает бесконечное множество пар решений"
что простите?
решение nogard верно. разве что не всем очевидно, что разным значениям у всегда соответсвую разные решения х, и х из разных пар никогда не совпадут. Но это уже мелоче, на мой взгялд это доказывается достаточно легко чтобы называться очевидным.
Принимается )
20 февраля 2010 в 02:33
a = f(b). По определению, каждому из тех значений, которые может принимать b, соответствует одно или несколько значений a.
b = 14x - 96/x.
x может принимать бесконечное количество различных значений => b также может принимать бесконечное количество различных значений, т.к. функция (y = 14x - 96/x) не дискретна и возрастает на всей области определения (y' = 14 + 96/x^2).
бесконечность > 2009 => Доказано.
з.ы. Формулировка задания требует показать, что количество корней более 2009, для этого вовсе не обязательно доказывать их четность.
20 февраля 2010 в 02:35
2Zusul: 14x - 96/x =5 , найди корни
20 февраля 2010 в 02:37
2 Zusul: вроде как х все ищут
20 февраля 2010 в 04:31
Zusul,
Думаю, что вы неправильно поняли условие задачи. Скорее всего, если добавить "a = const", то вы поймете, что именно требовалось в задаче.
20 февраля 2010 в 09:45
да, действительно
а это параметр. оно не меняется
х то может бесконечное число значений принимать, но не все они будут корнями данного уравнения
9 марта 2010 в 12:56
Не вчитывалась в решения, но:
Решение nogard не сработает в 2010 году. Ход мыслей Zusul верен, может он и неясно выражается.
Достаточно взять любой отрезок, на котором 14x-96/x непрерывна и показать, что на этом отрезке f уже имеет бесконечное кол-во решений.
Например на отрезке [1; 2] функция 14x-96/x непрерывна и принимает бесконечное множество решений [14-96; 28-48]. То есть для всех х из [-82; -20] f(x)=a. Поскольку на любом отрезке находится бесконечное множество точек, то и f имеет не менее бесконечного кол-ва решений.
9 марта 2010 в 20:49
А еще Алиса убила Бармаглота :)
9 марта 2010 в 21:49
kmuntianu:
Не вчитывался в решение, но:
Ваше решение не работает в любом году в котором пользователи умеют читать комментарии. Достаточно будет предыдущего - http://thejam.ru/uncategorized/2009-kornej-da-byt-etogo-ne-mozhet.html#comment-9809
11 марта 2010 в 14:01
Ваш сарказм настолько прикрытый, что даже не заметен ;)
Я плохо прочитала условие. Всегда этим страдаю. Подумала, что это определение функции, а не уравнение. Да-да, глупость конечно. Ваше решение безусловно верное.
11 марта 2010 в 14:36
Я просто не мог отказать себе в этом. Я рад, что вы не в обиде =)