2009 корней? Да быть этого не может! | Разное

СТАТУС: РЕШЕНО

Алиса нашла 2009 корней уравнения

f(14x — 96/x) = a

Докажите, что она нашла не все корни

2009 корней? Да быть этого не может! | Разное: 13 комментариев

  1. Просто решаем данное уравнение. Делаем замену y=14x — 96/x;
    Находим все возможные y для f(y)=a, пусть их будет t;
    Теперь, чтобы найти все решения x нужно решить t уравнений вида
    y_i = 14x — 96/x (y_i — y с индексом i)
    Преобразуем:
    (14x^2 — y_i*x — 96)/x = 0
    Деление на x не вносит и не убирает решений, т.к. ноль изначально исключен из области значений.
    Очевидно, что полученный полином имеет ровно два корня (например по дискриминанту).
    Для разных значений i, очевидно, корни x разные.
    Таким образом всего 2t решений относительно x, а 2009 нечетное число.

  2. По определению, каждому существующему (14x — 96/x) соответствует одно или несколько a.
    (14x — 96/x) принимает бесконечное множество пар решений (кроме х=0) => f(14x — 96/x) = a имеет бесконечное число корней. [бесконечность] > 2009 => Доказано.

  3. «(14x — 96/x) принимает бесконечное множество пар решений»
    что простите?
    решение nogard верно. разве что не всем очевидно, что разным значениям у всегда соответсвую разные решения х, и х из разных пар никогда не совпадут. Но это уже мелоче, на мой взгялд это доказывается достаточно легко чтобы называться очевидным.
    Принимается )

  4. a = f(b). По определению, каждому из тех значений, которые может принимать b, соответствует одно или несколько значений a.
    b = 14x — 96/x.
    x может принимать бесконечное количество различных значений => b также может принимать бесконечное количество различных значений, т.к. функция (y = 14x — 96/x) не дискретна и возрастает на всей области определения (y’ = 14 + 96/x^2).
    бесконечность > 2009 => Доказано.
    з.ы. Формулировка задания требует показать, что количество корней более 2009, для этого вовсе не обязательно доказывать их четность.

  5. Zusul,
    Думаю, что вы неправильно поняли условие задачи. Скорее всего, если добавить «a = const», то вы поймете, что именно требовалось в задаче.

  6. да, действительно
    а это параметр. оно не меняется
    х то может бесконечное число значений принимать, но не все они будут корнями данного уравнения

  7. Не вчитывалась в решения, но:
    Решение nogard не сработает в 2010 году. Ход мыслей Zusul верен, может он и неясно выражается.
    Достаточно взять любой отрезок, на котором 14x-96/x непрерывна и показать, что на этом отрезке f уже имеет бесконечное кол-во решений.
    Например на отрезке [1; 2] функция 14x-96/x непрерывна и принимает бесконечное множество решений [14-96; 28-48]. То есть для всех х из [-82; -20] f(x)=a. Поскольку на любом отрезке находится бесконечное множество точек, то и f имеет не менее бесконечного кол-ва решений.

  8. Ваш сарказм настолько прикрытый, что даже не заметен 😉
    Я плохо прочитала условие. Всегда этим страдаю. Подумала, что это определение функции, а не уравнение. Да-да, глупость конечно. Ваше решение безусловно верное.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *