Получение числа | Логические задачи

Пусть А = 2^(1/2) + 3^(1/3)

(^ — возведение в степень)

Составить такой многочлен F(x) с целыми коэфицентами, что А — его корень, или доказать, что такого многочлена не существует

1001 и другие числа | Логические задачи

СТАТУС: РЕШЕНО

Данная задача взята из областной олимпиады школьников для 11 класса, 2008 год:

С натуральным числом проделывается следущая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу. С полученным числом проделывается то же самое и т.д.

Докажите, что если в полученной последовательности есть число 1001, то в ней нет ни одного простого числа.

Задача о двух биссектрисах | Логические задачи

Пожалуй это самая сложная геометрическая задача, какую я вообще встречал

«В треульнике равны две биссектрисы. Доказать, что этот треугльник равнобедренный»

Просто?

Просто формулируется, но не решается 🙂

0,(9) | Логические задачи

Дамы и господа! Однажды я задался вопросом: а так ли рациональны рациональные числа? И вот что пришло мне в голову: 0,(9). Дробь периодическая, значит — число рациональное. Как известно, между двумя рациональными числами можно найти ещё одно. Так вот: какое рациональное число стоит между 0,(9) и 1? Это не вся задача — буду выкладывать дальнейшие рассуждения по мере решения. Очень прошу — не гуглите и не открывайте учебник Мордковича за 7(или 8?) класс. Я это делал, когда уже сам разобрался.

Как повесить картину? | Логические задачи

Задача была представлена на Третьей Соросовской Олимпиаде Школьников. Задача по математике 9 класс.

Условие:

Как повесить картину? Что за странный вопрос? Все просто. Берем кусок веревки, прикрепляем ее концы к раме картины с обратной стороны, затем вбиваем в стенку гвоздь и накидываем на гвоздь веревку. Картина висит. Если гвоздь выдернуть, то она, понятно, упадет. А вот профессор Немудренов поступил иначе. Вначале он таким же образом прикрепил к картине веревку, только взял ее немного длиннее. Затем вбил в стену рядом два гвоздя и особым образом накинул веревку на эти гвозди. Картина на этих гвоздях висит, но если выдернуть любой гвоздь, то картина упадет. Более того, профессор утверждает, что может повесить картину на три гвоздя так, что на всех трех картина висит, но если выдернуть любой гвоздь, то картина упадет.

Перед вами две задачи: указать, как можно повесить нужным образом картину на а) два гвоздя; б) три гвоздя.

Задачу обычно проще решить школьникам младших классов. Их мозг не загружен информацией лишней в данной задаче. Им помогает интуиция. А вот матаппарат студенов иногда мешает найти решение. Правда, в этой задаче есть четкое математическое, вернее топологическое, решение. Оно, однако, достаточно громоздко и изобилует множеством понятий и определений, которые надо вводить.

Проще взять два карандаша, кусок веревки и вперед 🙂

Многочлен | Логические задачи

P(x) — многочлен четвёртой степени. Известно, что:

P(1)=P(-1), P(2)=P(-2)

Докажите чётность функции y=P(x) на множестве R действительных чисел