Логические задачи → Правда, ложь и натуральное число

Комментариев: 12

1. NLO пишет:
   26 ноября 2008 в 22:35
   

   _0*_0=_0
   _1*_1=_1
   _2*_2=_4
   _3*_3=_9
   _4*_4=_6
   _5*_5=_5
   _6*_6=_6
   _7*_7=_9
   _8*_8=_4
   _9*_9=_1

   в предположении, что б)- верно а+51 заканчивается на 2, но квадрат любого натурального числа на 2 не заканчивается.
   в предположении, что б) верно а-38 заканчивается на 3, но квадрат любого натурального числа на 3 не заканчивается.
   Значит а и в - верные утверждения, а б - неверно.
   в таком случае а = 1974.

2. NLO пишет:
   26 ноября 2008 в 23:41
   

   я даже кажется знаю в каком году эту задачу придумали.

3. Китана пишет:
   27 ноября 2008 в 01:34
   

   Видимо, в 1974-ом:)

   У меня тоже получилось: a=1974. И думала я так же.
   Только напишу еще, как число нашлось после того, как выяснилось, что утверждения а и в верны, а б ложно.

   a+51 - точный квадрат
   а-38 - точный квадрат
   Значит, разница между этими двумя квадратами 51+38 = 89 = 44+45. Значит:
   а+51=45^2,
   а-38=44^2.
   Из любого уравнения находится а = 1974, а второе для проверки ))

4. Andrew пишет:
   27 ноября 2008 в 10:47
   

   А можно поподробнее объяснить вот эти два шага:
   1) 89 = 44+45. (почему именно так, а не 80 и 9 например?)
   2) Значит:
   а+51=45^2,
   а-38=44^2.
   (тоже почему именно так, а не а+51=44^2 и т .д.?)

5. Китана пишет:
   27 ноября 2008 в 12:32
   

   Думаю, если напишу в общем случае, все сразу же прояснится :)

   (n+1)^2 = (n+1) * (n+1) = n*n + 2*n + 1 = n*n + n + (n+1)
   То есть , (n+1)^2 - n^2 = n + (n+1)

   Поэтому и представляем разность двух квадратов в виде суммы двух подряд идущих чисел.
   В нашем случае получается так:
   (a+51) - (a-38) = 51+38 = 89 = n+ (n+1), где n =44.

   Ну а потом записываем ту самую систему
   n^2 = 44^2 = a-38
   (n+1)^2 = 45^2 = a+51

   Но это работает, только если рассматриваются квадраты соседних чисел. К примеру, разность между числами 100 и 121 равна 21, но разность между числами 4 и 25 также равна 21.

   В данном случае других решений нету, потому что a явно больше 38 (иначе получим отрицательное число в качестве точного квадрата), поэтому число 89 не удастся разложить на сумму более чем двух чисел, наименьшее из которых должно быть больше 38

6. Китана пишет:
   27 ноября 2008 в 12:49
   

   Не верьте моему последнему абзацу... там глупость. Другого решения нету, но совсем не по той причине О__о, а потому что число 89 простое

7. fsv пишет:
   27 ноября 2008 в 13:25
   

   Значит а и в - верные утверждения, а б - неверно.
   в таком случае а = 1974.

   и вот почему 1974:
   пусть x^2=а-38
   (x+k)^2=a+51

   (x+k)^2-x^2=89
   2kx+k^2=89
   следовательно к - нечетное и меньше 9
   x=(89-k^2)/(2k)
   из вариантов k=(1, 3, 5, 7) только при k=1 x - целое
   x=44
   a=44^2+38=1974

8. paunch пишет:
   1 декабря 2008 в 03:20
   

   Ответ 13 тоже верный. -5 в кв, -25. Там только про натуральность а говориться.

9. Victor пишет:
   1 декабря 2008 в 16:41
   

   Под точным квадратом на олимпиадах подразумевают натуральное число :)
   Хотя действительно говоится о натуральности только числа а

10. SusAnna пишет:
    1 декабря 2008 в 16:52
    

    Ответ 13 тоже верный. -5 в кв, -25. Там только про натуральность а говориться

    Не верно, так как -5 в квадрате равно 25, а не -25.

11. BBopoH пишет:
    13 февраля 2009 в 13:11
    

    На мой взгляд, если не вдоваться в глубокую математику, то ответ 11. Из утверждения, что 1-неверно. 2,3-верно. Т.к 11-последняя еденица, 11+38=49-точный квадрат.

12. Alexey пишет:
    25 октября 2011 в 21:09
    

    Можно решать так.

    Пусть а завершается единицей.

    предположительно кандидаты: 1 , 11, 21, 31 ....
    Сколько их?
    Расстояние от числа до ближайших квадратов соседних чисел увеличивается.

    У 1-это 3. (4-1)
    У 11 - это 21 (минимум. 121-100, т.к. 144-121 больше).
    У 21 - это 42 (442-400). - уже третье со вторым не огут быть одновременно true
    У 31 - это 61, то есть далее у всех чисел, оканчивающихся на единицу в заданых пределах нет никаких квадратов ВООБЩЕ.

    1, 11 и 21 не подходят (даже банальным отниманием). Ну, можно было строже проверить.
    б не верно, а остальное дело техники.

Комментировать!