theJam.ru

Логические задачиПолучение числа

4 марта 2010 | Добавил: SoVictor

Пусть А = 2^(1/2) + 3^(1/3)

(^ - возведение в степень)

Составить такой многочлен F(x) с целыми коэфицентами, что А - его корень, или доказать, что такого многочлена не существует

Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку

Комментариев: 11

  1. nogard пишет:

    (1, 0, -6, -6, 6, -36, 1)

  2. WolframAlpha пишет:

    корень не подходит, ВольфрамАльфа говорит, что если подставить корень в этот полином, получится -6*(2 + 2*(2^(1/2))*(3^(1/3)) + 3^(2/3))

  3. Serge пишет:

    Действительно чудо ресурс, спасибо за ссылочку!

  4. SoVictor пишет:

    итак, хорошо бы конечно приводить ход решения, чтобы я мог проверять его, а не ответ )

  5. SoVictor пишет:

    или есть желающие решить методом грубой силы (подбором) ? оО

  6. nogard пишет:

    (1, 0, -6, -6, 12, -36, 1)
    Ошибся в приведении коэффициентов.
    Если не очевидно, то хотя бы логично, что стоит попробовать искать многочлен 6 степени.
    Для этого я возвел A^6, A^4, A^3, A^2. Почему не беру 5 степень очевидно - ибо будет много лишних радикалов.
    Взял 6-ую степень с коэффициентом 1, остальные подгоняются для уничтожения радикалов. Успешно получаем данный полином.

  7. SoVictor пишет:

    ответ правильный, но решать задачи подбором это не серьёзно: я ведь мог дать число и посложнее, прешлось бы брать многочлен не шестой а 10, 15 степени...
    хочется увидеть более простое решение. и хорошо бы более универсальное

  8. atlakatl пишет:

    Скорее всего, я объясню решение nogard-а. Это и будет «универсальным» методом.
    Обозначим: a=2^(1/2), b=3^(1/3)
    Надо найти такие x, y, z, i, j, k, что полином
    x*(a+b)^6+ y*(a+b)^5+z*(a+b)^4+i*(a+b)^3+j*(a+b)^2+k*(a+b) (1)
    принимает целые значения.
    Вроде бы есть теоремы о несоизмеримости иррациональных радикалов (2). Этим и воспользуемся.
    Раскрываем полином (1). Попутно вспоминаем, что a^2=2 и b^3=3. Получаем некоторые выражения при комбинациях радикалов b^2, a*b^2, a*b, a, b. Все они должны быть равны нулю по (2):

    при b^2: 60*x+3*y+12*z+j=0
    при a*b^2: 18*x+20*y+3*i=0
    при a*b: 24*x+14*y+8*z+2*j=0 (3)
    при a: 120*x+4*y+12*z+2*i+k=0
    при b: 90*x+20*y+3*z+6*i+k=0

    Решаем систему, получаем

    z=-6*x, y=(96*x+16*z)/9, k=-54*x+20*y-3*z, j=-60*x-3*y-12*z, i=-(18*x+20*y)/3

    Видно, что набор nogard-а является простейшим и единственным среди взаимно простых.

  9. SoVictor пишет:

    Универсально, но ооооооочень сложно )
    Это так сказать решение "в лоб". Нет, оно конечно правильное, но есть на порядок более эффективные подходы к решению этой задачи.

  10. atlakatl пишет:

    Вот, в “Вездесущем числе п» вычитал. Действительно, проще.

    Искомый многочлен разлагается на множители. Один из них:
    (x – 2^(1/2) – 3^(1/3))
    Приравниваем его нулю и начинаем сокращать радикалы:
    x - 2^(1/2) = 3^(1/3) - возводим в куб. Затем члены с 2^(1/2) переносим в одну часть уравнения и возводим всё в квадрат. В конце концов получаем искомый многочлен.

Комментировать!

Друзья, обращаю ваше внимание, что все бессмысленные и пустые сообщения будут удаляться, ровно как и комментарии с заведомо не существующми e-mail адресами. Спасибо!


Случайное:
ОБЗОР ИГРЫ ASSASIN’S CREED ROGUE
Assassin’s Creed Rogue, последняя на сегодняшний день «полноценная», если так можно сказать, часть и
Полезные советы перед началом прохождения The Witcher 3
Относительно недавно состоялся выход, наверное, одной из самых ожидаемых игр как в жанре RPG, так
История возникновения компьютерных игр
Многие пользователи интересуются феноменом огромной популярности индии - игр, несмотря на то, что мн
Обзор Игры FAR CRY 3
Far Cry 3 – это игра, которая у многих ассоциируется всего лишь с одним словом – «безумие». Мы играе
Какие бывают на данный момент типы компьютерных игр?
Классификация компьютерных игр – это достаточно спорный вопрос, поскольку на данный момент предостав


 
2005-2011 theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать. ↑ вверх
полезно знать