theJam.ru

Логические задачиНеравенство

23 марта 2010 | Добавил: SoVictor

Доказать справедливость неравенства

(1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8

для всех положительных x, y и z

Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку

Комментариев: 6

  1. nogard пишет:

    Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки и приводим подобные.
    Теперь нужно доказать:
    z*x^2 +y*x^2+x*y^2+x*z^2+y*z^2+z*y^2 >= 6xyz.
    Левую часть группируем по множителю в первой степени, а правую раскладываем на три равных суммы.
    z*(x^2+y^2) + y*(x^2+z^2) + x*(z^2+y^2) >= 2xyz + 2xyz + 2xyz.
    Заносим каждое произведение из правой части под скобки и сворачиваем квадраты.
    z*(x+y)^2 + y*(x+z)^2 + x*(z+y)^2 >=0
    Очевидно, что данное условие выполняется всегда.

    P.S. Помню, что данные неравенства как-то назывались, но забыл как.
    P.P.S Надо прекращать пачками задачи решать и дать другим подумать.

  2. SoVictor пишет:

    ну правильно, да
    только лучше сказать не "приводим к общему знаменателю", а "домножим обе части неравенства на xyz>0"

  3. SoVictor пишет:

    P.S. Помню, что данные неравенства как-то назывались, но забыл как.
    "циклические", если не изменяет память.

  4. nogard пишет:

    Вспомнил - неравенство Мюрхеда.

  5. nastya пишет:

    среднее арифметическое не меньше среднего геометрического
    всё доказывается в уме....

  6. DaRiK пишет:

    x,y,z положительные, поэтому к каждой скобке применим неравенство Коши, и останется 8>=8

Комментировать!

Друзья, обращаю ваше внимание, что все бессмысленные и пустые сообщения будут удаляться, ровно как и комментарии с заведомо не существующми e-mail адресами. Спасибо!


Случайное:
ОБЗОР ИГРЫ ASSASIN’S CREED ROGUE
Assassin’s Creed Rogue, последняя на сегодняшний день «полноценная», если так можно сказать, часть и
Полезные советы перед началом прохождения The Witcher 3
Относительно недавно состоялся выход, наверное, одной из самых ожидаемых игр как в жанре RPG, так
История возникновения компьютерных игр
Многие пользователи интересуются феноменом огромной популярности индии - игр, несмотря на то, что мн
Обзор Игры FAR CRY 3
Far Cry 3 – это игра, которая у многих ассоциируется всего лишь с одним словом – «безумие». Мы играе
Какие бывают на данный момент типы компьютерных игр?
Классификация компьютерных игр – это достаточно спорный вопрос, поскольку на данный момент предостав


 
2005-2011 theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать. ↑ вверх
полезно знать