Доказать справедливость неравенства
(1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8
для всех положительных x, y и z
сайт для тех, кто умеет читать и думать. Логические задачи.
сайт для тех, кто умеет читать и думать. Логические задачи.
Доказать справедливость неравенства
(1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8
для всех положительных x, y и z
Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки и приводим подобные.
Теперь нужно доказать:
z*x^2 +y*x^2+x*y^2+x*z^2+y*z^2+z*y^2 >= 6xyz.
Левую часть группируем по множителю в первой степени, а правую раскладываем на три равных суммы.
z*(x^2+y^2) + y*(x^2+z^2) + x*(z^2+y^2) >= 2xyz + 2xyz + 2xyz.
Заносим каждое произведение из правой части под скобки и сворачиваем квадраты.
z*(x+y)^2 + y*(x+z)^2 + x*(z+y)^2 >=0
Очевидно, что данное условие выполняется всегда.
P.S. Помню, что данные неравенства как-то назывались, но забыл как.
P.P.S Надо прекращать пачками задачи решать и дать другим подумать.
ну правильно, да
только лучше сказать не «приводим к общему знаменателю», а «домножим обе части неравенства на xyz>0»
P.S. Помню, что данные неравенства как-то назывались, но забыл как.
«циклические», если не изменяет память.
Вспомнил — неравенство Мюрхеда.
среднее арифметическое не меньше среднего геометрического
всё доказывается в уме….
x,y,z положительные, поэтому к каждой скобке применим неравенство Коши, и останется 8>=8