- theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать. Логические задачи. - http://thejam.ru -

Найти радиус

Posted By SoVictor On ноября 16, 2008 @ 23:33 In Логические задачи | 11 Comments

На стороне AB квадрата ABCD построен равносторонний треугольник ABE, так, что вершина E находится вне квадрата. Около треугольника СDE описали окружность. Чему равен радиус этой окружности, если сторона квадарата ABCD равна а ?


11 Comments (Open | Close)

11 Comments To "Найти радиус"

#1 Comment By ELF On ноября 17, 2008 @ 13:42

получается, что радиус равен тому самому а
если примернот построить картинку, получается что центр окружности (скажем, О)
попадает внутрь квадрата, и находится на линии, соединяющей середины сторон АВ и СD. Проведем три радиуса - ОЕ, ОС и ОD. Из полученного рисунка складывается впечатление, что четырехугольники АDOE и ВСОЕ -равны друг другу, и как минимум параллелограммы, а то и ромбы, поскольку наблюдается равенство DA=AE, и DO=OE. DA параллельно ОЕ по построению, следовательно углы, образованные ими тоже равны - отсюда можно судить, что АDOE и ВСОЕ - все же ромбы, и все их стороны равны а. Вот как-то так... :)

P.S. не знаю, как загружать сюда картинки, поэтому вот вам ссылка на рисунок, чтобы было понятно

#2 Comment By Victor On ноября 17, 2008 @ 14:43

Совершенно верно
Но строгого доказательства можно добиться, производя построения в другом порядке.
Думаю это будет несложно зделать, заня конечный чертёж ;)
А ответ действительно а

#3 Comment By Andrew On ноября 18, 2008 @ 12:53

Из точки Е строим диогональ. Точку противолежащую Е назовем К. Точку пересечения КЕ и ДС назавем Л. В итоге рассмотрим два треугольника ДЕК и ДЕЛ, они оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Стороны ДЕ и ЛЕ легко высчитывается. А дальше используя подобие треугольников находим сторону КЕ, которая является диогональю, т.е. равна двум радиусам.

#4 Comment By Victor On ноября 19, 2008 @ 17:59

Из точки Е строим диогональ

Думаю, имелся ввиду диаметр

они оба прямоугольные

В вот прямоугольность ДЕЛ ещё нужно доказать...

#5 Comment By ELF On ноября 19, 2008 @ 18:39

Дел прямоуголен, поскольку опирается на диаметр, т.е. на дугу в 180 градусов. величина вписанного угла равна половине величины дуги на которую он опирается, таким образом угол ЛДЕ - прямой

#6 Comment By Victor On ноября 19, 2008 @ 18:53

Эм...
треугольник КДЕ опирается на диаметр, треугольник ЛДЕ - нет

Из точки Е строим диогональ. Точку противолежащую Е назовем К. Точку пересечения КЕ и ДС назавем Л

#7 Comment By ELF On ноября 19, 2008 @ 21:15

ой... извиняюсь, не про то подумал...
так треугольник ЛДЕ прямоугольный по построению, т.е. диаметр изначально проводится под прямым углом... хотя... нигде это не доказывается, это верно...

#8 Comment By Victor On ноября 19, 2008 @ 22:43

ну ну ну
По построению можно либо провести перпендикуляр, либо провести диаметр.
Если есть жедание провести перпиндикулярный диаметр, нужно доказать, что такое построение вообще можно сделать

#9 Comment By Victor On ноября 20, 2008 @ 19:11

отрезок AB получется из отрезка CD параллельным переносом на DA
тогда, треугольник ABE получется из треугольника CDO
следовательно, E получается из О переносом на DA => EO=a=OC=OD
Таким образом, точка О удалена от точек C, D и Е на а => точка О - центр окружности проходящей через эти точки и искомый радиус равен а

#10 Comment By Andrew On ноября 21, 2008 @ 13:23

А откуда видно, что точка Е перенесётся на точку О? Для этого надо заранее знать, что радиус равен стороне квадрата :)
Идея сравнить треугольники АВЕ и CDO верная, жаль мне в голову не пришла. Надо просто доказать, что это индентичние треугольники, и вот из этого следует, что был перенос и радиус равен стороне квадрата.

#11 Comment By VovanZver On февраля 18, 2009 @ 16:54

Виразив радиус формульно, используя теорему синусов и косинусов получилось:

R=(a*sqrt(2-cos(150)))/(2*sin(acos(a/(2*a*sqrt(2-cos(150))))))

если подставить а=1, то получилось 1,0490381056766579701455847561295 (погрешность довольно большая, но можно сказать, что R=a)

(извините за такое громосткое решение, но что первое пришло на ум)


Article printed from theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать. Логические задачи.: http://thejam.ru

URL to article: http://thejam.ru/puzzle/najti-radius.html