Доказать неравенство | Логические задачи

Доказать методом математической индукции, что n! > n^(n/2) для всех натуральных n > 2.
Если не матиндукцией, то любым другим способом, однако, приветствуется именно матиндукция

Доказать неравенство | Логические задачи: 2 комментария

  1. 1) База индукции 6> 3^(3/2) т.к. 36=6^2>3^3=27
    2) Шаг
    Пусть n!>n^(n/2)
    Докажем,что из этого следует что (n+1)!> (n+1)^(n/2+1/2)
    по предположению (n+1)!=(n+1)*n! > (n+1)*n^(n/2)
    Докажем,что (n+1)*n^(n/2) > (n+1)^(n/2+1/2) = (n+1)^1/2*(n+1)^n/2
    воспользуемся тем, что (1+1/n)^n 0 функцию (1+1/x)^x , которая как известно стремится снизу к е=2.7<3]
    [(n+1)/n]^n<3< (n+1) (n+1)^n/2 (n+1)^(n/2+1/2) таким образом, мы доказали что (n+1)!=(n+1)*n! > (n+1)*n^(n/2) > (n+1)^(n/2+1/2)
    то есть (n+1)! > (n+1)^(n/2+1/2)
    то что надо)

  2. Зачем индукция и сложные апроксимации числа e…
    Просто считаем
    n!^2=(1*2*… *n)*(n*…*1)=(1*n)*(2*(n-1))…(n*1)>n^n, что и означает требуемое неравенство.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *