Логические задачи → Доказать неравенство

15 сентября 2009 | Добавил: Mitt9

Доказать методом математической индукции, что n! > n^(n/2) для всех натуральных n > 2.
Если не матиндукцией, то любым другим способом, однако, приветствуется именно матиндукция

Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку

Версия для печати.
RSS комментариев записи.

Метки → математические

Комментариев: 2

орех пишет:
20 января 2010 в 12:23

1) База индукции 6> 3^(3/2) т.к. 36=6^2>3^3=27
2) Шаг
Пусть n!>n^(n/2)
Докажем,что из этого следует что (n+1)!> (n+1)^(n/2+1/2)
по предположению (n+1)!=(n+1)*n! > (n+1)*n^(n/2)
Докажем,что (n+1)*n^(n/2) > (n+1)^(n/2+1/2) = (n+1)^1/2*(n+1)^n/2
воспользуемся тем, что (1+1/n)^n 0 функцию (1+1/x)^x , которая как известно стремится снизу к е=2.7<3]

[(n+1)/n]^n<3< (n+1)

(n+1)^n/2 (n+1)^(n/2+1/2)
таким образом, мы доказали что (n+1)!=(n+1)*n! > (n+1)*n^(n/2) > (n+1)^(n/2+1/2)
то есть (n+1)! > (n+1)^(n/2+1/2)
то что надо)
Virtus пишет:
17 июля 2011 в 15:44

Зачем индукция и сложные апроксимации числа e...
Просто считаем
n!^2=(1*2*... *n)*(n*...*1)=(1*n)*(2*(n-1))...(n*1)>n^n, что и означает требуемое неравенство.