Логические задачи → Делимость кубов

Комментариев: 9

1. zxsa пишет:
   2 декабря 2008 в 19:32
   

   Если число делится на 6, то оно делится на 2 и 3, и после возведения в куб, этого свойства не потеряет. И значит сумма таких чисел тоже будет делиться на 2 и 3, а значит и на 6

2. SusAnna пишет:
   2 декабря 2008 в 19:36
   

   у меня доказательство немного нудное.
   Поскольку a+b+c / на 6, то оно четно, а это значит, что либо одно из слагаемых четно, а остальные нет, либо все три четны.
   Теперь распишем куб суммы (a+b+c)^3.
   Если я нигде не ошиблась, то это будет так:
   (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*b^2*c + 3*b*c^2 + 3*a^2*c + 3*a*c^2 + 6*a*b*c (1)
   Очевидно, что левая часть уравнения (1) / на 6. 6*a*b*c - тоже / на 6.
   Далее расмотрим два предположения:
   1. Все слагаемые - четные. Тогда все суммы правой части (1) вида 3*x^2*y тоже делятся на 6. Отсюда и сумма a^3 + b^3 + c^3 также / на 6. ЧТД.
   2. Только одно слагаемое четное и допустим, что это а.
   Перепишем (1) в виде:
   (a+b+c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*b*c*(b+c) + 3*a^2*c + 3*a*c^2 + 6*a*b*c (2)
   Все слагаемые, в которых есть множитель а / на 6 (так как оно четное и в каждом таком слагаемом есть множитель 3). Слагаемое 3*b*c*(b+c) тоже / на 6. Т.к. (b+с) - четное число.
   Отсюда слагаемое (a^3 + b^3 + c^3) / на 6. ЧТД

3. Victor пишет:
   2 декабря 2008 в 19:57
   

   Всё это очень здорово, но хотелось бы ещё большего внимания к условию задачи :)
   Сумма кубов, ребята, а не куб суммы! ;)

4. Victor пишет:
   2 декабря 2008 в 20:01
   

   Прошу прощения, у SusAnna это учтено.
   Но по-моему куб суммы трёх слагаемых расписывается всё-таки иначе...

5. zxsa пишет:
   2 декабря 2008 в 20:19
   

   Сумма кубов, ребята, а не куб суммы!

   Я именно о ней и говорю

6. Victor пишет:
   2 декабря 2008 в 20:59
   

   Если число делится на 6, то оно делится на 2 и 3, и после возведения в куб, этого свойства не потеряет. И значит сумма таких чисел тоже будет делиться на 2 и 3, а значит и на 6

   В таком случае не ясен переход от первой строчки утверждения ко второй

7. SusAnna пишет:
   2 декабря 2008 в 21:03
   

   Но по-моему куб суммы трёх слагаемых расписывается всё-таки иначе...

   нашла в справочнике куб суммы двух чисел (a+b)^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3.
   Распространим на случай 3 слагаемых.
   ((a+b)+c)^3 = (a+b)^3 + 3*(a+b)^2*c + 3*(a+b)*c^2 + c^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*c + 3*a*c^2 + 3*b*c^2 + c^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*a^2*c + 3*b^2*c + 6*a*b*c + 3*a*c^2 + 3*b*c^2.

8. Victor пишет:
   3 декабря 2008 в 16:12
   

   В таком случае ваше решение полностью верно :)
   Может быть поищем теперь более простые решения?

9. Neila пишет:
   27 февраля 2009 в 20:26
   

   (a+b+c) mod 6 = 0 =>
   (a^3+b^3+c^3) mod 6 = (a^3+b^3+c^3 - (a+b+c)) mod 6 =
   ((a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)) mod 6 = 0 т.к. любое при любом натуральном n: (n-1)n(n+1) mod 6=0

Комментировать!