Логические задачи → Что больше?

Комментариев: 16

1. Sunny пишет:
   29 августа 2009 в 22:19
   

   Равны. От х не зависит )

2. Victor пишет:
   29 августа 2009 в 22:30
   

   что ж, тогда пусть х=П/2
   соs(x)=0
   sin(x)=1
   sin(cos(x))=sin(0)=0
   cos(sin(x))=cos(1)

   И тут-то по-вашему выходит, что косинус одной радианы есть ноль. Убедится в ошибочности данного суждения мы можем взглянув на тригонометрический круг.

   Ответ неверен.

3. Sunny пишет:
   30 августа 2009 в 00:54
   

   Согласен, неверно )))) Нашел ошибку, но ответа все-таки у меня нет еще :D

4. Slavic пишет:
   1 сентября 2009 в 07:52
   

   От х не зависит, больше cos(sin(x)). Если скажите, что верно, предоставлю доказательства:-)

5. Victor пишет:
   1 сентября 2009 в 17:04
   

   я ничего не скажу, пока вы не изложите ход рассуждений :)
   меня интересуют решения, а не ответы

6. Slavic пишет:
   2 сентября 2009 в 11:16
   

   Хорошо, я рассуждал так. функции sin и cos непрерывные, периодические. Являясь аргументами таких же непрерывных периодических функций, функци cos(sin(x)) и sin(cos(x)) тоже становятся периодическими, непрерывными и изменяют свои значения с одной и той же скоростью.
   Далее рассмотрим тригонометрический круг по четвертям:
   1-ая) cos убывает sin возрастает, значения sin(cos(x)) изменяются от sin(1) до 0, значения cos(sin(x)) изменяются от 1 до cos(1). Значит cos(sin(x)) больше.
   2-ая) cos принимает отрицательные значения, а sin отрицательного числа - меньшще нуля, тогда как cos(sin(x)) больше 0, т.к. 1рад<90градусов.
   3-я) Также 1рад cos(sin(x)) положителен, а sin(cos(x)) отрицателен.
   4-ая) рассуждения аналогичны с первой четвертью cos(sin(x)) изменяется от cos(1) до 1, а sin(cos(x)) меняется от 0 до sin(1)
   Таким образом при любом х cos(sin(x)) всегда больше, чем sin(cos(x)).
   Еще в голове крутится графический метод. В нашем случае аргументами sin и cos являются cos и sin соответственно. Аргументы изменяются от -1 до 1, но с разницей в П/2. Значит графики искомых функций представляют из себя синусоиды и косинусоиды, построенные на отрезке от -1рад. до 1рад. На этом промежутке косинусоида будет выше синусоиды в любой точке графика.
   Вот такие мои мысли.
   P.S. Не смог найти как тут вставлять смаилики картинками :)

7. Slavic пишет:
   2 сентября 2009 в 11:17
   

   А нет, получилось! Надо их без носа рисовать)

8. Victor пишет:
   2 сентября 2009 в 16:44
   

   1-ая) cos убывает sin возрастает, значения sin(cos(x)) изменяются от sin(1) до 0, значения cos(sin(x)) изменяются от 1 до cos(1). Значит cos(sin(x)) больше.

   Тут надо расмотреть гораздо больше, чем у вас. Две возрастающие функции могут пересекаться, даже если одна изменяется от 1 до 3 а другая от 2 до 4 (т.е. в случае подобном описаному вами)
   Чтобы не быть голословным, вот пример:
   http://hdd.tomsk.ru/desk/qrdyihfx

   Предётся работать с производными чтобы доказать ваше утверждение вашим путём. Советую поискать более простой путь, он есть :)

9. Slavic пишет:
   4 сентября 2009 в 22:22
   

   Согласен с вами, к тому же sin(1)>cos(1) С производными получится, что максимумы и минимумы у функций в разных точках. Расскажу, что надумал за эти пару дней.
   Итак, посидев вечером с двумя студентами мех-мата ТГУ пол вечера нашли два сложных и одно простое решение. Кстати Victor чем вам не понравился мой псевдо-графический метод?)
   Вариант первый через теорию функции комплексного переменного, используя формулу Эйлера, можно получить в общем виде частное от деления этих двух функций. Упрощая частное (всё решение приводить не буду, надоест переводить язык и регистр) можно доказать, что оно больше 1 при любом х => cos(sin(x)>sin(cos(x))
   Вариант второй кроется в методах приближенного вычисления и рядах Тейлора. Тут я сам не много понял), но данный метод позволяет найти интеграл, ака площадь под кривой, в численном виде для обоих функций, опять же получаем верный результат.
   Потом меня осенило так...
   sin(cos(x))=cos(cos(x)+П/2) по формуле приведения;
   вычитаем большую из меньшей, значит разность при любом х должна быть >0;
   cos(sin(x))-cos(cos(x)+П/2)=-2sin((sin(x)+cos(x)+П/2)/2)sin((sin(x)-cos(x)-П/2)/2) по формуле разности косинусов;
   Далее найдем производные аргументов и вычислим их максимальные и минимальные значения;
   Полученные значения подставим в функции => первый синус всегда >0 второй произведение всегда >0 => cos(sin(x))>sin(cos(x)) и от х не зависит.

   Вот, вроде просто и обоснованно. Маленькие неточности спишите на неграмотность языка глубоким вечером.
   P.S. А еще я графики этих функций просто в прикладном П.О. построил, но вам не покажу:)

10. Victor пишет:
    5 сентября 2009 в 17:14
    

    Первые два изложенных вами способа я коментировать не буду. Честно говорю, что я их не понимаю )
    На счёт последнего - подумайте ещё, начали вы хорошо. Попробуйте использовать обратные функции (арксинус и арккосинус)

    Далее найдем производные аргументов и вычислим их максимальные и минимальные значения;

    Смысл этих слов остался для меня загадкой :)

11. atlakatl пишет:
    5 сентября 2009 в 21:13
    

    За основу принимаем тождество
    sin(x)=cos(x-п/2) (1)
    Вычитаем вторую функцию из первой, проводя затем преобразования по (1):
    sin(cos(x))-cos(sin(x))=cos(cos(x))-п/2-cos(sin(x)) (2)
    Смотрим на cos(sin(x)):
    sin(x) (внутренний) меняется от -1 до 1. На всем отрезке [-1;1] cos (уже внешний) положителен. Снова смотрим на (2):
    cos(cos(x)) не может быть больше 1. А вычитаемые п/2 и cos(sin(x)) положительны и их сумма больше 1. Значит (2) всегда отрицательно, т.е. cos(sin(x)) всегда больше, чем sin(cos(x))

12. NLO пишет:
    8 сентября 2009 в 14:29
    

    я в общем то тригонометрические тождества помню очень плохо, поэтому пользовался вики. надеюсь там все правильно.
    sin(cosX) - cos(sinX)=
    =cos(Pi/2-cosX) - cos(sinX)=
    =-2 sin[1/2(Pi/2-cosX+sinX)] sin[1/2(Pi/2-cosX-sinX)].
    Теперь рассмотрим аргументы каждого из синусов и покажем, что они лежат в пределах от 0 до Pi, иными словами покажем, что каждый из синусов всегда положителен. А значит sin(cosX)<cos(sinX) на R.
    1/2(Pi/2-cosX+sinX)=Pi/4+[2^(-0.5)]sin(X-Pi/4)
    -1<=sin(X-Pi/4)<=1
    -[2^(0.5)]/2<=[2^(-0.5)]sin(X-Pi/4)<=[2^(0.5)]/2
    Pi/4-[2^(0.5)]/2<=Pi/4+[2^(-0.5)]sin(X-Pi/4) 0 или что тоже (3.14/4-1.4/2)>0 но с хвостиками.
    и Pi/4+[2^(0.5)]/2 < Pi
    мне было лень проделывать, но инженерный калькулятор меня в этом убедил.
    Значит sin(cosX) - cos(sinX)<0 и sin(cosX) < cos(sinX) при всех X из R.

13. Victor пишет:
    8 сентября 2009 в 14:47
    

    Ну вобщем то решение у Slavic и NLO вроде бы верные :)
    Надеюсь в этот пост зайдёт хотябы один популяризатор, который напишет то же самое двумя строчками :)

14. михаил пишет:
    17 ноября 2009 в 12:01
    

    sin(cos(x)) - А
    cos(sin(x)) - В
    Значение А изменяется от -(3^0.5)/2 до (3^0.5)/2 приблизительно, Значение В изменяется от 0.5 до 1 приблизительно. Значит А больше В только, если значение А принадлежит от 0.5 до (3^0.5)/2, но значение В больше А на этом промежутке

15. FKN пишет:
    4 февраля 2010 в 00:53
    

    Это же школьная задачка :)
    sin(x)= [-1:1] cos(x)= [-1:1] при любых Х пренадлижащих N
    тогда уровнение sin(cos(x)) cos(sin(x)) примет вид sin [-1:1] и cos [-1:1]
    возьмем еще и точку 0 для наглядности……
    sinx (-1)=-0,017 sinx (1)=0,017 sinx (0)=0
    cosx (-1)=0,999 cosx (0)=1 и cosx (1)=0,999
    => sin(cos(x)) < cos(sin(x))
    графически бы выглядело почти что параллельные прямые где cos(x) выше sin(x)…

16. Kot пишет:
    19 февраля 2010 в 05:43
    

    FKN, михаил уже говорили о том , что єто не доказательство
    зі:у нло нормально описано вроде, просто читать нужно с 3 по 6 строчку:)дальше и так видно, хотя и продолжение довольно популярно расписано

Комментировать!