theJam.ru

Логические задачиЧто больше?

29 августа 2009 | Добавил: SoVictor

Что больше:

sin(cos(x)) или cos(sin(x)) ?

Зависит ли это от х ?

Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку

Комментариев: 17

  1. Sunny пишет:

    Равны. От х не зависит )

  2. Victor пишет:

    что ж, тогда пусть х=П/2
    соs(x)=0
    sin(x)=1
    sin(cos(x))=sin(0)=0
    cos(sin(x))=cos(1)

    И тут-то по-вашему выходит, что косинус одной радианы есть ноль. Убедится в ошибочности данного суждения мы можем взглянув на тригонометрический круг.

    Ответ неверен.

  3. Sunny пишет:

    Согласен, неверно )))) Нашел ошибку, но ответа все-таки у меня нет еще :D

  4. Slavic пишет:

    От х не зависит, больше cos(sin(x)). Если скажите, что верно, предоставлю доказательства:-)

  5. Victor пишет:

    я ничего не скажу, пока вы не изложите ход рассуждений :)
    меня интересуют решения, а не ответы

  6. Slavic пишет:

    Хорошо, я рассуждал так. функции sin и cos непрерывные, периодические. Являясь аргументами таких же непрерывных периодических функций, функци cos(sin(x)) и sin(cos(x)) тоже становятся периодическими, непрерывными и изменяют свои значения с одной и той же скоростью.
    Далее рассмотрим тригонометрический круг по четвертям:
    1-ая) cos убывает sin возрастает, значения sin(cos(x)) изменяются от sin(1) до 0, значения cos(sin(x)) изменяются от 1 до cos(1). Значит cos(sin(x)) больше.
    2-ая) cos принимает отрицательные значения, а sin отрицательного числа - меньшще нуля, тогда как cos(sin(x)) больше 0, т.к. 1рад<90градусов.
    3-я) Также 1рад cos(sin(x)) положителен, а sin(cos(x)) отрицателен.
    4-ая) рассуждения аналогичны с первой четвертью cos(sin(x)) изменяется от cos(1) до 1, а sin(cos(x)) меняется от 0 до sin(1)
    Таким образом при любом х cos(sin(x)) всегда больше, чем sin(cos(x)).
    Еще в голове крутится графический метод. В нашем случае аргументами sin и cos являются cos и sin соответственно. Аргументы изменяются от -1 до 1, но с разницей в П/2. Значит графики искомых функций представляют из себя синусоиды и косинусоиды, построенные на отрезке от -1рад. до 1рад. На этом промежутке косинусоида будет выше синусоиды в любой точке графика.
    Вот такие мои мысли.
    P.S. Не смог найти как тут вставлять смаилики картинками :)

  7. Slavic пишет:

    А нет, получилось! Надо их без носа рисовать)

  8. Slavic пишет:

    Согласен с вами, к тому же sin(1)>cos(1) С производными получится, что максимумы и минимумы у функций в разных точках. Расскажу, что надумал за эти пару дней.
    Итак, посидев вечером с двумя студентами мех-мата ТГУ пол вечера нашли два сложных и одно простое решение. Кстати Victor чем вам не понравился мой псевдо-графический метод?)
    Вариант первый через теорию функции комплексного переменного, используя формулу Эйлера, можно получить в общем виде частное от деления этих двух функций. Упрощая частное (всё решение приводить не буду, надоест переводить язык и регистр) можно доказать, что оно больше 1 при любом х => cos(sin(x)>sin(cos(x))
    Вариант второй кроется в методах приближенного вычисления и рядах Тейлора. Тут я сам не много понял), но данный метод позволяет найти интеграл, ака площадь под кривой, в численном виде для обоих функций, опять же получаем верный результат.
    Потом меня осенило так...
    sin(cos(x))=cos(cos(x)+П/2) по формуле приведения;
    вычитаем большую из меньшей, значит разность при любом х должна быть >0;
    cos(sin(x))-cos(cos(x)+П/2)=-2sin((sin(x)+cos(x)+П/2)/2)sin((sin(x)-cos(x)-П/2)/2) по формуле разности косинусов;
    Далее найдем производные аргументов и вычислим их максимальные и минимальные значения;
    Полученные значения подставим в функции => первый синус всегда >0 второй произведение всегда >0 => cos(sin(x))>sin(cos(x)) и от х не зависит.

    Вот, вроде просто и обоснованно. Маленькие неточности спишите на неграмотность языка глубоким вечером.
    P.S. А еще я графики этих функций просто в прикладном П.О. построил, но вам не покажу:)

  9. Victor пишет:

    Первые два изложенных вами способа я коментировать не буду. Честно говорю, что я их не понимаю )
    На счёт последнего - подумайте ещё, начали вы хорошо. Попробуйте использовать обратные функции (арксинус и арккосинус)

    Далее найдем производные аргументов и вычислим их максимальные и минимальные значения;

    Смысл этих слов остался для меня загадкой :)

  10. atlakatl пишет:

    За основу принимаем тождество
    sin(x)=cos(x-п/2) (1)
    Вычитаем вторую функцию из первой, проводя затем преобразования по (1):
    sin(cos(x))-cos(sin(x))=cos(cos(x))-п/2-cos(sin(x)) (2)
    Смотрим на cos(sin(x)):
    sin(x) (внутренний) меняется от -1 до 1. На всем отрезке [-1;1] cos (уже внешний) положителен. Снова смотрим на (2):
    cos(cos(x)) не может быть больше 1. А вычитаемые п/2 и cos(sin(x)) положительны и их сумма больше 1. Значит (2) всегда отрицательно, т.е. cos(sin(x)) всегда больше, чем sin(cos(x))

  11. Victor пишет:

    Ну вобщем то решение у Slavic и NLO вроде бы верные :)
    Надеюсь в этот пост зайдёт хотябы один популяризатор, который напишет то же самое двумя строчками :)

  12. михаил пишет:

    sin(cos(x)) - А
    cos(sin(x)) - В
    Значение А изменяется от -(3^0.5)/2 до (3^0.5)/2 приблизительно, Значение В изменяется от 0.5 до 1 приблизительно. Значит А больше В только, если значение А принадлежит от 0.5 до (3^0.5)/2, но значение В больше А на этом промежутке

  13. FKN пишет:

    Это же школьная задачка :)
    sin(x)= [-1:1] cos(x)= [-1:1] при любых Х пренадлижащих N
    тогда уровнение sin(cos(x)) cos(sin(x)) примет вид sin [-1:1] и cos [-1:1]
    возьмем еще и точку 0 для наглядности……
    sinx (-1)=-0,017 sinx (1)=0,017 sinx (0)=0
    cosx (-1)=0,999 cosx (0)=1 и cosx (1)=0,999
    => sin(cos(x)) < cos(sin(x))
    графически бы выглядело почти что параллельные прямые где cos(x) выше sin(x)…

  14. Kot пишет:

    FKN, михаил уже говорили о том , что єто не доказательство
    зі:у нло нормально описано вроде, просто читать нужно с 3 по 6 строчку:)дальше и так видно, хотя и продолжение довольно популярно расписано

  15. Artem пишет:

    Мне кажется, что равны... Х тут не причем.

Комментировать!

Друзья, обращаю ваше внимание, что все бессмысленные и пустые сообщения будут удаляться, ровно как и комментарии с заведомо не существующми e-mail адресами. Спасибо!


Случайное:
ОБЗОР ИГРЫ ASSASIN’S CREED ROGUE
Assassin’s Creed Rogue, последняя на сегодняшний день «полноценная», если так можно сказать, часть и
Полезные советы перед началом прохождения The Witcher 3
Относительно недавно состоялся выход, наверное, одной из самых ожидаемых игр как в жанре RPG, так
История возникновения компьютерных игр
Многие пользователи интересуются феноменом огромной популярности индии - игр, несмотря на то, что мн
Обзор Игры FAR CRY 3
Far Cry 3 – это игра, которая у многих ассоциируется всего лишь с одним словом – «безумие». Мы играе
Какие бывают на данный момент типы компьютерных игр?
Классификация компьютерных игр – это достаточно спорный вопрос, поскольку на данный момент предостав


 
2005-2011 theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать. ↑ вверх
полезно знать