theJam.ru
|
Разделы:
Lifehack12
Данетки95
Игры139
Игры на бумаге17
Книги14
Конкурсы8
Логические задачи346
Люди3
Новости6
Познавательно33
Почемучки14
Притчи4
Работа сайта10
Разное10
Сделай сам10
С праздником16
Страшно жить10
Творчество41
Тесты14
Фото4
Хобби2
Юмор105
 Логические задачи → 3 сундука
14 сентября 2011 | Добавил: Ogra
В честь дня программиста на Хабре промелькнула интересная задачка и споры вокруг нее все еще идут ;) У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки. В первом — две золотых. Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?
Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку
Метки → логические
|
Случайное:
Обсуждения:
Ogra → Инспектор Варнике
Carcass → Тест советского восьмиклассника
Руслан → Слова, оканчивающиеся на “зо”.
ололошин → Незадачливый рыбак
lisicanasta → Инквизиция в наши дни
Ogra → И все же, они вертятся?
SM → Последовательность
Nastya → Бесконечная игра
SpAwN# → Самая трудная игра в мире
Полезное:
Карта сайта:
|
14 сентября 2011 в 13:07
Заранее извиняюсь за возможно длинный комментарий.
Для начала стоит сказать, что я очень люблю задачи с вероятностями и очень не люблю когда люди пытаются их решать на основе "здравого смысла". Дело не в том, что я не люблю здравый смысл, а в том, что не надо выдавать свою логику за него - логику можно подкрепить доказательствами, в отличии от "здравого смысла". Людей, которые не понимают парадокс Монти-Холла я не уважаю.
Данная задача, как и много других основана на том, что многие люди очень не аккуратно относятся к двум понятиям из теорвера - условная вероятность и абсолютная вероятность. Если вкратце, то абсолютная вероятность - это вероятность того, что какое-то событие наступило все зависимости от внешних факторов, а условная - вероятность того, что событие наступило при каком-то условии.
Пример неправильного рассуждения: нам требуется найти вероятность того, что вторая монетка в сундуке тоже золотая, таким образом необходимо найти вероятность того, что в сундуке обе монетки золотые. Из трех сундуков всего один с двумя золотыми монетами, а значит вероятность 1/3.
Это не правильное решение! Оно оперирует абсолютной вероятностью, подменяя условную.
Для начала используем один из самый простых принципов - дополнение вероятности до 1. Пусть искомая вероятность p. Вероятность какого события описывает (1-p)? По условию задачи получаем, что это вероятность того, что вытащив первую монетку золотой, вторая окажется серебряной. Таким образом выбор идет из двух сундуков - в одном две золотые монетки, а в другом две разных. На каждый их сундуков приходится равная возможность выбора. Вот и получается что p = 1-p => p=1/2. Получилось гротескное решение, но данное решение легко исправить в случае с задачей с разным количеством разных сундучков.
Чуть менее очевидный, но не менее правильный путь - раз первая монетка заведомо золотая, то из задачи нужно исключить все сундуки без золотых монет - они не будут влиять на вероятность.
14 сентября 2011 в 23:38
В честь дня программиста на Хабре промелькнула интересная задачка и споры вокруг нее все еще идут ;)
Как могут идти споры вокруг задачи школьного уровня (сейчас в школе проходят теорию вероятностей). Ответ одна вторая следует просто из определения условной вероятности. Наш сайт себя позиционирует как theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать.
А на Хабре как ;)?
14 сентября 2011 в 23:52
На Хабре два мнения - одно из них 1/2, второе - правильное.
Думайте еще!
15 сентября 2011 в 13:47
Специально залез на хабр и посмотрел дискуссию.
Два возможных ответа 1/2 и 2/3. Самое интересное, что оба они верны. Просто разный контекст.
Для начала, обратим внимание на слово "вслепую" и на то, как указан список сундучков из условия задачи. Именно это дает кривотолк.
Теперь обещанные контексты.
1) Для которого ответ 1/2.
В сундучках монеты лежат так как указано в задаче, но понумерованно:
в первом сундуке: 1: золотая 2: золотая.
во втором сундуке: 1: серебряная 2: серебряная.
в третьем сундуке: 1: золотая 2: серебряная.
В первый раз мы вытягиваем первую монету. "Вслепую" читаем как "мы не смотрим в сундук" (т.е. мы не знаем какая монета вторая).
В задаче не сказано, что монеты понумерованы, но указанный список это подразумевает.
2) Для которого ответ 2/3.
Все остается как есть в условии, но монеты в сундучка не пронумерованы (для этого описание третьего сундучка меняем на "по одной монете из золота и серебра" и слово вслепую мы дополняем словом "наугад").
Тогда вероятности действительно распределяются как 2/3, 0 и 1/3.
Сейчас, когда я уже рассмотрел оба контекста, то я согласен, что второй выглядит более математическим, но при первом прочтении задачи я понял именно первый. Если бы такая задача попалась на серьезной олимпиаде, то гарантированно был бы задан вопрос о том как именно достают монеты и тогда вопроса о контексте бы не возникало.
15 сентября 2011 в 15:03
Я бы не сказал, что в задаче речь идет о "пронумерованных" или "упорядоченных" монетках ;)
15 сентября 2011 в 19:37
1/2
Поясняю:
Золотые монеты лежат ТОЛЬКО В ДВУХ сундуках. И раз Вы уже вытащили золотую монету, то у Вас остаётся лишь две возможности (ВЕДЬ СУНДУК ТОТЖЕ): вторая либо серебряная, либо золотая.
15 сентября 2011 в 19:59
vestran, 1/2 - это неправильный ответ ;)
15 сентября 2011 в 20:53
Ogra
Точно также как вы не считаете, что в задаче идет речь о "пронумерованных" монетках, так же я не посчитал, что монетка вытаскивается случайным образом => пронумеровал их. Соответственно получаем 1/2.
Если ОЧЕНЬ сильно не нравится такое решение, то потрудитесь исправить задачу, например как указано в моем предыдущем сообщении.
15 сентября 2011 в 21:39
Ogra, где твои контр аргументы? В чём я ошибся? Я соберу людей, которые скажут, что я прав... Аргументируйте...
15 сентября 2011 в 22:27
nogard, т.е. "вслепую" для вас ничего не значит? И отсутствие, например, числительных (первый, первая) ? Все-таки сундук - это не стопка.
vestran, мнение толпы - не есть правильный ответ ;) Чаще даже наоборот.
15 сентября 2011 в 23:13
"Вслепую" для меня значит что мы не смотрим в сундук. Это позволяет вообще говорить о вероятности, иначе я просто увижу вторую монету и со 100% вероятностью скажу золотая она или серебряная. А числительные есть в списке сундуков.
Самое забавное, что именно о слове "вслепую" и о числительных я написал ранее. Похоже, что мои комментарии вы читаете по диагонали.
16 сентября 2011 в 01:21
Не отказываясь от своего предыдущего комментария, признаю свою ошибку в вычислениях, сделаных наспех в уме.
Итак есть три сундука с монетами ЗЗ, СС, СЗ. Выбрана монета З. Какова вероятность, что она выбрана из сундука с монетами ЗЗ - вот условия задачи, однозначно соответствующие тому, что вторая монета -З. Монета З выбрана из сундуков с ЗЗ или СЗ. Ясно, что вероятность выбора из 1-го в 2 раза больше => 2/3
16 сентября 2011 в 01:25
nogard, вы же знаете парадокс Монти-Холла, вы писали об этом. Помните одно из объяснений этого парадокса? Тут тот же приём можно использовать.
Представьте, что у нас 3 сундука. В одном - 100 серебрянных монет, в другом - 100 золотых, а в третьем - 1 золотая и 99 серебрянных. Мы выбрали сундук и вытащили монету. Она оказалась золотой. Вероятность чего больше - что это второй сундук или третий? Неужели одинаково?
То же самое и в нашей задаче. Вопрос сводится к следующему: какая вероятность больше - вытащили мы эту монету из двух золотых или из серебрянной и золотой?
18 сентября 2011 в 01:36
Вспомнился анекдот:
- Какава вероятность того, что вы выйдете на улицу и встретите динозавра?
- 50% - либо встречу либо нет
20 октября 2011 в 12:47
Все рассуждения, конечно хороши, но нужно внимательно смотреть в саму формулировку вопроса. Суть кроется в том, что факт вытаскивания золотой монеты не поддается сомнению, то есть это уже случившееся событие. Вопрос ставится уже ПОСЛЕ вытаскивания золотой монеты. Поэтому убежден, что вероятность = 1/2.
Заблуждение насчет 2/3 складывается, если понять задачу неправильно:
"Какова вероятность того, что первая вытащенная монета будет золотой и вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?"
15 ноября 2011 в 05:29
Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех равновозможных случаев. поэтому 1/2, учитывая оставшиеся равновозможные случаи зз и зс
15 ноября 2011 в 11:26
Юрий и Мария, вы неправы.
Дело в том, что случаи зз и зс не являются равновозможными.
17 ноября 2011 в 23:03
Задача бородатая. Конечно, вероятность 2/3 при соблюдении всех условий задачи. Тем у кого возникли сомнения есть резон попрактиковаться.
Вся соль тут в том, что вероятность выбора ящика СЗ и СС не равновероятна.
17 ноября 2011 в 23:05
Опечатался. Разумеется речь идёт о СЗ и ЗЗ
18 ноября 2011 в 19:29
Давайте переформулируем задачу, чтобы внести ясность
===
У нас есть ПЯТЬ сундуков, в каждом из которых лежит по две монетки.
В первом — две золотых.
Во втором — две серебряных.
В третьем — одна золотая и одна серебряная.
В четвёртом — две серебряных.
В пятом — две серебряных.
Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?
===
Каким образом количество сундуков СС может повлиять на результат, если первая монета заведомо золотая?
20 ноября 2011 в 14:09
Андрей, ответ точно такой-же. 2/3 или 66,6%.
Почему у вас первая монета заведомо золотая, если вы пишите, что "Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку" (с)...
21 ноября 2011 в 12:48
"Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку. Она оказывается золотой." - это из условия
Впрочем, за выходные понял-таки почему 2/3: у каждой из золотых монет есть равный шанс быть извлечённой первой, соответственно в сундуках остаётся 2 золотых и одна серебряная
24 ноября 2011 в 23:44
Если монетку мы положили обратно, и вынимаем вслепую, то вероятность 3/4
1 декабря 2011 в 00:04
Так как в условии задачи УЖЕ сказано, что вытянули золотую монету, то практически решаем ИЗНАЧАЛЬНО задачку с ДВУМЯ сундуками - ЗЗ и ЗС (СЗ). Так как в условии задачи УЖЕ сказано, что вытянули "З", то 3/4 "З" 1/4 "С" тоже использованы...Значит 1/2.
2 декабря 2011 в 05:23
Нарисую, как я вижу ситуацию с ответом 2/3.
И да, я буду нумеровать монетки. Хотя нет, лучше покрашу.
В сундуках разноцветные монетки: три (синий, зеленый, фиолетовый) относятся к серебряным и три (красный, жетлый, оранжевый) - к золотым. Перемешали и рассовали их по трем сундукам так, как соответствует стартовой задаче, при этом сочетание цветов не запоминали - главное, выдержать золото/серебро.
Вытянули "золотую" монетку (допустим, красную). Какова вероятность, что в том же сундуке лежит желтая или оранжевая? Вот тут казалось бы очевидно: выкидываем сундук с двумя серебряными монетками в пропасть, ибо известно, что вытянута золотая.
Остается 2 сундука и три "неизвестные" монетки, которые претендуют на соседство с вытянутой: желтая, оранжевая и оставшаяся серебряная. Вероятность соседства любой из них - 1/3, значит вероятность соседства желтой или оранжевой = 2/3.
НО. фишка в том, что в изначальной задаче монетки не разноцветные. И не пронумерованные.
И желтая монетка = оранжевой. А значит, вероятность соседства желтой и вероятность соседства оранжевой, если монетки одинаковые, - это не два разных события, а одно. А значит, у нас не 1/3+1/3+1/3=1, а 1/2+1/2.
Поэтому правильным ответом здесь, как это ни странно, будет тот, что подсказывает здравый смысл - 1/2. Ибо не надо различать одинаковые монетки.
3 декабря 2011 в 11:35
Эх. Я бы сформулировал ответ следующим образом:
Чтобы вторая монетка оказалась золотой, необходимо, чтобы первую золотую мы вытащили из ящика с 2-мя золотыми (ЗЗ). Шансы вытащить первую золотую между сундуками ЗЗ, СЗ и СС, соответственно, распределяются как 2/3, 1/3 и 0/3.
Следовательно, вытаскивая золотую монетку, мы можем утверждать с вероятностью 2/3, что это сундук ЗЗ (т.е. вторая монетка окажется золотой).
Хотелось, чтобы автор вопроса прокомментировал данное решение.
3 декабря 2011 в 22:52
Все те, кто утверждает, что вероятность 1/2 - вас обманывает ваш здравый смысл. Вы некорректно сводите исходную задачу к задаче с двумя сундуками.
Мария, Лаплас в данном случае бесполезен, здесь нужно использовать правило Байеса.
Illais, ваша ошибка в том, что вы "выбрасываете" сундук с двумя серебряными монетами, но забываете "выбросить" половину сундука в котором лежат одна золотая, одна серебряная монета.
СМ, шансы вытащить первую золотую распределяются как (1, 1/2, 0). Если нормировать - получится (2/3, 1/3, 0).
Теперь немного поподробнее.
В данном случае мы рассматриваем два события: выбор сундука и вытаскивание монеты. Вытащенная монета служит для нас индикатором, при помощи которого мы определяем, какой именно сундук мы выбрали.
Полная картина такая: Если монета золотая, то вероятности такие: (ЗЗ: 2/3, ЗС: 1/3, СС: 0). Если монета серебряная, то вероятности такие: (ЗЗ: 0, ЗС: 1/3, СС: 2/3).
ПОЧЕМУ НЕ 1/2 ?
Доказательство от противного: пусть вероятность 1/2. Тогда картина распределения вероятностей такая: Если монета золотая, то вероятности такие: (ЗЗ: 1/2, ЗС: 1/2, СС: 0). Если монета серебряная, то вероятности такие: (ЗЗ: 0, ЗС: 1/2, СС: 1/2). Т.е., в любом случае вероятность ЗС: 1/2, что противоречит условию выбора сундука (случайный выбор из трех вариантов).
Ad absurdo:
Изменим условие, доведем его до абсурдного. Пусть у нас три сундука, в одном 1000 золотых монет, в другом - 1 золотая и 999 серебряных, а в третьем - 1000 серебряных монет. Вытащенная монета - золотая. Какова вероятность того, что вторая монета будет золотая?
4 декабря 2011 в 19:07
После публикации этой задачи я специально разместил две задачи
Теория вероятностей и Теория вероятностей 2
Они обе эквивалентны этой задаче
В комментариях к Теория вероятностей 2 расписано все!
Радует, что такие задачи вызывают интерес.
6 декабря 2011 в 21:42
Ogra, спасибо за наш здравый смысл! Искренне, без подколов! Кахдый человек имеет право на собственные заблуждения, надеюсь Вы в своих счасливы! Остаюсь при своих!
6 декабря 2011 в 21:45
1/2
6 декабря 2011 в 22:13
vestran, предлагаю очную ставку.
Встречаемся, организуем подобие трех сундуков из задачи. И будем повторять опыт раз 100. Каждый раз, когда выпадает "серебряная монета" - переигрывается. Каждый раз, когда выпадает золотая монета, изучаем вторую монету. Если выпадает золотая - вы мне 10р. Если выпадает серебряная - я вам 15р. Идет?
7 декабря 2011 в 01:33
ogra, Вы подмешиваете понятия! Какой выбор из 3 сундуков? Выбор сундука УЖЕ произошел. И по условию мы ищем вероятность ВТОРОЙ монеты, а не вероятность второй монеты после первой! Если выбирать еще и сундуки, то тогда действительно, сундук ЗЗ будет попадаться в 2 раза чаще, чем ЗС. Но мы сундук не выбираем, в противном случае необходимо переформулировать условие задачи. А для этого условия Ваши рассуждения некорректны! Сундук у нас ОДИН, тот, который мы недавно каким-то образом выбрали (каким-неважно, ведь мы вероятность этого события не ищем), и в нем ОДНА монета (вторую из него мы уже достали). По условию это может быть либо С, либо З. И никаких СС в нем быть не может. Вероятность наступления события "З" - 1/2.
PS. А Ваше предложение ПОСЛЕ выбора из 3 сундуков изучать вторую монету - нечестно
8 декабря 2011 в 01:29
Интересное получается обсуждение, вобщем-то простого вопроса!
Абсолютно прав Ogra и те кто разделяет его мнение. Вспомним теорию
Правило Баейса условных вероятностей P(B/A)=P(BA)/Р(А).
Событие А -1 я монета золотая; Событие B -2 я монета золотая; Сундуки ЗЗ, ЗС, СС
P(BA)=1/3 (ОБЕ МОНЕТЫ ЗОЛОТЫЕ) - ВСЕ СОГЛАСНЫ?
P(A)=1/2 - ВСЕ СОГЛАСНЫ? Отсюда P(B/A)=2/3
Интересное замечание. По условию случай СС невозможен. Без третьего сундука результат тот-же
Событие А -1 я монета золотая; Событие B -2 я монета золотая; Сундуки ЗЗ, ЗС
P(BA)=1/2 (ОБЕ МОНЕТЫ ЗОЛОТЫЕ) - ВСЕ СОГЛАСНЫ?
P(A)=3/4 - ВСЕ СОГЛАСНЫ? Отсюда P(B/A)=2/3
Ну а кого не убеждают доказательства, прочтите http://lib.ru/INDEXLESS/wwg/russian/02a.html
8 декабря 2011 в 02:02
oleg, я рассматриваю задачу строго по условию ("мы выбираем сундук случайным образом". И эксперимент я предлагаю проводить строго по условию - берем три сундука, выбираем один случайным образом, вытаскиваем вслепую монетку.
8 декабря 2011 в 21:37
У нас есть 3 сундука:
Сер Зол
2 0
1 1
0 2
Первый раз можно вытянуть одну из 6 монет. Делаем это 6000 раз. Дальше работаем со средними значениями.
В 3000-х случаях это серебро, - прерываем эксперимент. Мы попали в 1-й сундук 2000 раз и 1000 раз – во 2-й.
В 3000-х случаях мы вытягиваем золото. Мы попали во 2-й сундук 1000 раз и 2000 раз – в 3-й.
Ясно, что во 2-й попытке в этом случае мы 1000 раз вытянем серебро и 2000 раз золото.
2000/3000 = 2/3 - вероятность вытянуть вторую золотую монету.
9 декабря 2011 в 18:59
Джентльмены! Я должен признать, что ошибался 8-)
9 декабря 2011 в 21:54
О! Пардонте! И Леди , конечно! 8-)
15 декабря 2011 в 16:07
Представим себе такую ситуацию, когда мы не видели предшествующих действий с сундуками, и, более того, вообще не знаем о них.
Заходим в комнату, видим 3 сундука, один открыт, возле него лежит золотая монета.
Нам сообщают условия задачи, мы чешем в затылке.
Какова вероятность того, что вторая монета в нем также золотая?
То есть, собственно, вопрос сводится к тому, что нам нужно считать: общее количество монет, или количество сундуков с золотыми монетами?
В первом варианте это может быть одна из трех монет в игре, и вероятность 2/3.
Во втором варианте это может быть один из двух сундуков в игре, и вероятность 1/2.
Повторю еще раз, мы знаем только то, как были распределены монеты по сундукам. Способа их туда помещения и доставания мы не знаем.
29 декабря 2011 в 22:20
да легко если мы вытащили золотую монету то это может быть только 3 или 1 сундук если мы вытащили из 1 сундука вероятность вытащить следующюю монету золотую 100% а ели мы вытащили из 3 сундука то вероятность 50% значит вероятность вытащить 2 монету золотую 50% потомучто мы вытащим или золотую или серебрянную вот поэтому вероятность 50%
29 декабря 2011 в 22:21
да а мне 12 лет кстати
20 января 2012 в 13:30
Заблуждение по поводу решения (2/3) основано на применимости в данном случаи метода Баейса расчета условной вероятности.
Применить его можно только если бы в условии было бы написано
"Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку. Если Она оказывается золотой, то Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?",
вместо
"Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем от туда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?"
24 января 2012 в 14:25
Alex, я не вижу, что меняет ваша формулировка.
24 января 2012 в 17:39
Ogra, согласен... в обоих случаях 1/2. Потому как первое событие уже произошло и применять условную вероятность нельзя.
Формула условной вероятности - для любых двух независимых, событий A и B справедливо: P(АВ)=Р(А)*Р(В|А).
Её можно применить например для такого вопроса в данной задаче:
Какова вероятность вытащить 2 золотые монеты подряд?
Тогда событие А - вытащить золото в первый раз, В - золото во второй.
Р(А) = 1/3*(1+1/2+0) = 1/2
Р(В|А) = 1/2*(1+0) = 1/2
Р(АВ)= 1/2*1/2=1/4
Кстати, что отличается от другого события С - вытащить сразу две золотых монеты
Р(С) = 1/3*(1+0+0) = 1/3.
24 января 2012 в 17:55
кстати ошибка "Virtus пишет: 8 декабря 2011 в 01:29 ", заключается именно в смешении безусловной и условной вероятности.
На его вопрос
"Событие А -1 я монета золотая; Событие B -2 я монета золотая; Сундуки ЗЗ, ЗС, СС
P(BA)=1/3 (ОБЕ МОНЕТЫ ЗОЛОТЫЕ) - ВСЕ СОГЛАСНЫ?" ответ нет.
24 января 2012 в 17:55
да, Ogra... а где ваше решение?
25 января 2012 в 11:42
Alex,
Мое решение использует правило Байеса, ответ 2/3.
Всех, кто утверждает, что ответ 1/2, я приглашаю сыграть на деньги. Условия описаны выше: http://thejam.ru/puzzle/3-sunduka.html#comment-12497
Ну да ладно. Все проще, вы неправы в определении условной вероятности и правомерности применения формулы Байеса для её расчета.
Ваше мнение: "Потому как первое событие уже произошло и применять условную вероятность нельзя."
Википедия, определение: "Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло."
29 января 2012 в 02:54
Alex пишет:
Р(В|А) = 1/2*(1+0) = 1/2 Откуда это следует? Ведь это и есть вопрос задачи!
Именно эту вероятность надо вычислить по формуле Байеса
P(B/A)=P(BA)/Р(А). Ну а если считаете что P(BA)=1/3 (ОБЕ МОНЕТЫ ЗОЛОТЫЕ) неверно, то дальше и обсуждать нечего. Две золотые монеты в одном сундуке из трех.
29 января 2012 в 03:17
Вчитайтесь внимательнее
событие (ВА) это два произошедших последовательно события, вначале В, затем А.
Событие С - это вытащить две золотые монеты сразу.
И P(BA) в общем случае не равно Р(С). В условиях поставленной задачи P(BA) =1/4, а Р(С) = 1/3.
Р(В|А) буквально - вероятность события В при условии что А произошло. То есть вытащили золото и у нас осталось два ящика в одном из которых 100% золото, а в другом 0% золото или в виде формулы
Р(В|А) = 1/2*(1+0) = 1/2
29 января 2012 в 17:31
Alex, вы неправильно рассчитываете P(B|A)
29 января 2012 в 22:25
Alex пишет:P(BA) в общем случае не равно Р(С). В условиях поставленной задачи P(BA) =1/4, а Р(С) = 1/3.
В условиях поставленной задачи P(BA) =1/3 ведь вторая монета берется из того же сундука, что и первая, а 1/4 получится если вторую монету брать из любого сундука
В условиях явно справшивается "Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?
30 января 2012 в 13:07
Virtus,
давайте по порядку.
перед вами три ящика.
выбираете 1 - достаёте одну монету - закрывает крышку. Монета золотая. Вероятность события 1/2.
Р(А) = 1/3*(1+1/2+0) = 1/2. В данной формуле (1/3) - это выбор одного ящика из 3-х. Внутри скобки вероятность выбора золота по ящикам.
До этого момента у нас расхождений нет.
Далее.
И здесь в силу вступает условная вероятность.
В этом ящике осталась либо золотая, либо серебрянная монета. То есть мы уже рассматриваем не 3 ящика, а два. Третий, где 2-е серебрянные монеты выпадает в силу условности, так как первая монета была золотая.
Поэтому Р(В|А) = 1/2*(1+0) = 1/2. В данной формуле (1/2) - это выбор одного ящика из 2-х.
По формуле условной вероятности Р(АВ)= Р(А)*Р(В|А)=1/2*1/2=1/4.
Давайте выполним проверку. Согласно положениям теории вероятности полная группа несовместных событий имеет вероятность 1.
В данном случае возможны события - вытащить золото (З), вытащить серебро (С)
Полная группа несовместных событий для двух вытаскиваний:
1. ЗЗ, Р=1/4
2. СС, Р=1/4
3. СЗ, Р=1/4
4. ЗС, Р=1/4
В сумме 1.
В случае, когда мы вытаскиваем две монеты сразу, у нас остается только 3 события
1. ЗЗ, Р=1/3
2. СЗ, Р=1/3 - это событие теперь совпадает с ЗС
3. СС, Р=1/3
30 января 2012 в 13:29
Alex
А расскажите мне, какая разница, достаем мы две монетки по очереди или сразу? А если я достану сразу две монетки, а покажу вам только одну?
Почему у вас вдруг получились разные вероятности?
Почему у вас способ доставания монеток влияет на вероятность? Здесь вам не квантовая механика, принцип неопределенности Гейзенберга не работает. Значимыми являются лишь способ выбора сундука и способ выбора монетки.
30 января 2012 в 20:20
вопрос на 5. верно подметил. но математическая модель упрямая вешь - если строго следовать логике, то так и получается.
Если получаешь информацию последовательно, вначале об одной монете, а затем о другой, то используем условную вероятность и вероятность получить две золотые - 1/4, а если получаешь информацию сразу о двух, как об одном событии - то вероятность получить две золотые - 1/3. Что подтверждается проверкой суммы вероятности по группе несовместных событий.
кстати в квантовой механике много обыграивается вопросов основанных на наблюдаемости случайных событий.
30 января 2012 в 22:02
Alex, если вы вляпались в противоречие, значит вы не строго следовали логике ;)
Высчитывайте условную вероятность по правилу Байеса, и все будет в порядке.
30 января 2012 в 23:51
Alex пишет:
Полная группа несовместных событий для двух вытаскиваний:
1. ЗЗ, Р=1/4
2. СС, Р=1/4
3. СЗ, Р=1/4
4. ЗС, Р=1/4
В сумме 1.
Только эта группа несовместных событий для двух вытаскиваний не имеет отношения к задаче.
Эти события происходят при бросании монеты на сторонах которой З и С.
Итак есть три сундука с монетами ЗЗ, СС, СЗ. Выбрана монета З. Какова вероятность, что она выбрана из сундука с монетами ЗЗ - вот условия задачи, однозначно соответствующие тому, что первая монета З и вторая монета -З. Монета З выбрана из сундуков с ЗЗ или СЗ. Ясно, что вероятность выбора из 1-го в 2 раза больше => 2/3
31 января 2012 в 11:44
Virtus, да изложите наконец свое решение -))).
Фраза "Ясно, что вероятность выбора из 1-го в 2 раза больше => 2/3" чисто популистская. Не говоря уж про "вляпался". А теория вероятности оперирует строгими положениями.
Если можно, то хотелось бы увидеть от вас решение в стиле:
1. Есть набор событий и вариантов выбора
2. вероятность определенных событий мы расчитываем из отношений возможных вариантов выбора
3. вероятность условных событий - пол следующим формулам.
Тогда можно будет обсуждать ваше решение.
31 января 2012 в 11:45
Ogra пишет:
30 января 2012 в 22:02
Alex, если вы вляпались в противоречие, значит вы не строго следовали логике ;)
Высчитывайте условную вероятность по правилу Байеса, и все будет в порядке.
Ogra, а где вы нашли противоречие?
31 января 2012 в 12:25
Alex, противоречие в том, что если вы достаете монеты по очереди, то вероятность достать две золотых подряд у вас 1/4, а если достаете одновременно - то 1/3. Очевидно, что порядок доставания монет не может влиять на эту вероятность. Определяющим фактом является выбор одного сундука из трех, но никак не порядок доставания монет.
31 января 2012 в 12:51
Держите строгое доказательство
Теорема Байеса, Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны
P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)
P(A) - вероятность события А
P(B) - вероятность события B
P(A|B) - вероятность события А, если событие B произошло
P(B|A) - вероятность события B, если событие A произошло
В рамках нашей задачи
P(A) - вероятность достать золотую монету
P(B) - вероятность выбрать сундук с двумя золотыми монетами
P(A|B) - вероятность достать золотую монету из сундука с двумя золотыми монетами
P(B|A) - вероятность того, что был выбран сундук с двумя золотыми монетами, при наблюдаемом событии доставания золотой монеты
P(A) = 1/2
P(B) = 1/3
P(A|B) = 1
P(B|A) = 1 * 1/3 / 1/2 = 2/3
1 февраля 2012 в 00:42
Alex пишет:
31 января 2012 в 11:44
Virtus, да изложите наконец свое решение -))).
Virtus Alexу. "Вляпался" я нигде не употреблял, а решение, такое же как привел Ogra, я разместил
еще 8 декабря.
Кстати, я опубликовал две задачи, эквивалентные данной- Теория вероятностей 1 и Теория вероятностей 2. Сегодня размещу еще одну, результат которой можно проверить самому за 5 минут.
1 февраля 2012 в 01:14
спасибо. теперь есть повод для дискуссий...
для применения формул условной вероятности необходимо рассматривать полную группу несовместных событий, рассматриваемых А и В недостаточно для решения.
корректным будет следующая группа
событие А - с первого раза вытащить золото.
1. В1 - выбор сундука с золотом ЗЗ
2. В2 - сундук с золотом и серебром СЗ
3. В3 - серебро СС
Тогда формула Байеса Р(В1|A)*Р(А) = Р(В1)*Р(А|В1)+Р(В2)*Р(А|В2)+Р(В3)*Р(А|В3), где
Р(В1)=Р(В2)=Р(В3)=1/3
Р(А|В1)=1
Р(А|В2)=1/2
Р(А|В3)=0
Р(А)=1/2
Р(В1|A)=(1*1/3+1/2*1/3+0*1/3)*2=1/4
1 февраля 2012 в 09:40
Alex (1*1/3+1/2*1/3+0*1/3)*2=1.
Не 1/4, а единица.
Как-то вы неправильно применяете правило Байеса.
Более того - рассматриваемых мною А и В вполне достаточно для решения.
1 февраля 2012 в 14:02
сорри - виноват, конечно же в данном случае
Р(А) = Р(В1)*Р(А|В1)+Р(В2)*Р(А|В2)+Р(В3)*Р(А|В3)=1/2
а байес в случае такой формулировки
Р(В1|A)=Р(В1)*Р(А|В1)/Р(А)