Логические задачи → 0,(9)

10 октября 2009 | Добавил: Korney G

Дамы и господа! Однажды я задался вопросом: а так ли рациональны рациональные числа? И вот что пришло мне в голову: 0,(9). Дробь периодическая, значит - число рациональное. Как известно, между двумя рациональными числами можно найти ещё одно. Так вот: какое рациональное число стоит между 0,(9) и 1? Это не вся задача - буду выкладывать дальнейшие рассуждения по мере решения. Очень прошу - не гуглите и не открывайте учебник Мордковича за 7(или 8?) класс. Я это делал, когда уже сам разобрался.

Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку

Версия для печати.
RSS комментариев записи.

Метки → математические, цифры

Комментариев: 23

zxsa пишет:
10 октября 2009 в 15:16

Их среднее арифметическое?
Korney G пишет:
10 октября 2009 в 15:29

zxsa, а это сколько?
ELF пишет:
10 октября 2009 в 16:10

Запись 0,(9) подразумевает бесконечное число знаков после запятой, ведь так?
Тогда средним арифметическим будет 0,(9)5, то есть бесконечность-плюс-первым знаком после запятой будет стоять 5.
Звучит глупо, но это то что первым приходит в голову. %)
Victor пишет:
10 октября 2009 в 18:12

0,(9) = 1
вот в чом вся соль... :)
NLO пишет:
11 октября 2009 в 11:03

2 ELF:
предположим, что запись 0,(9)5 нас не пугает :)
рассмотрим:
0.(9)<0,(9)5<1
0.(9)<0,(9)5<0.(9)9=0.(9)
получили противоречие: 0.(9)<0.(9).
Victor пишет:
11 октября 2009 в 12:52

Математики всего мира признают, что 0,(9)=1
Ну можно вот такое док-во привести:
1/3 = 0,(3)
1=3/3=3*0,(3)=0,(9)
Рассуждения NLO если немного обобщить тоже можно считать доказательством этого факта
Korney G пишет:
11 октября 2009 в 21:28

"Математики всего мира..." Сами бы... А скажите-ка мне, нельзя ли сказать, что число 0,(F) в шестнадцатиричной системе больше, чем 0,(9) в десятичной? Не это ли искомое число? Док-во, приведённое выше, не повторяйте как доказательство и этого факта, поскольку не исключены противоречия в аксиомах традиционной математики.
Victor пишет:
11 октября 2009 в 21:45

0,F так же равно 1. Это прсото другая запись того же 0,9
0.F больше чем шестнадцатиричное 0,9, но равно десятичному 0,9
Korney G пишет:
12 октября 2009 в 15:11

А по правилам перевода шестнадцатеричных дробей в десятичные?
nogard пишет:
12 октября 2009 в 16:54

Уважаемый Korney G - задачи получаются высосанными из пальца.
Тождественность 1 и 0,(9) уже указал Victor.
Замечу, что в некоторых курсах математического анализа числа вида x.(9) не считаются рациональными и рассматриваются отдельно (показывается, что это другая запись х+1 и на этом на них забивают)
По системам:
1) Перевод из 16 в 10
0.(F) = 0.F + 0.0F + 0.00F + ... F * 16^(-n)
0.(F) = 15*16^(-1) + 15*16^(-2) + ... + 15*16^(-n)
x = 0.(F) = 15 * (16^(-1) + 16^(-2) + ... + 16^(-n))
x/15 = 16^(-1) + 16^(-2) + ... 16^(-n)
x*16/15 = 16^(0) + 16^(-1) + 16^(-2) + ... 16^(-n)
x*16/15 = 1 + x/15
15*x/15 = 1
x = 1.
2) Без перевода
x = 0.(F)
10*x = F.(F)
10*x = F +x
(10-1)*x = F
F*x = F
x = 1.

Может я не понимаю в чем состоят вопросы и задачи?
Korney G пишет:
13 октября 2009 в 12:55

Н-да, немного не то.. Ну да ладно. А теперь, если не лень, попробуйте доказать, что число 0,(9) (именно в такой записи!) нельзя получить делением в столбик целого числа на натуральное.
nogard пишет:
13 октября 2009 в 17:29

Только после того, как вы докажите, что x*x = "икс в квадрате" (именно в такой записи!)
Да, я издеваюсь.
Нет, это точно такой же самый случай.
1(целое)/1(натуральное) = 1 = 0.(9)

Перевод "по правилам" из бесконечной десятичной в обычную дробь:
p = 0.(a1a2a3...an)
Например для 0.(137) а1 = 1; а2 = 3; а3 = 7; n = 3

0.(a1a2a3...an) * 10^n = a1a2a3...an.(a1a2a3...an)
p*10^n = p + a1a2a3...an
p*(10^n - 1) = a1a2a3...an
p = a1a2a3...an / (10^n - 1)

a1a2a3...an - целое
10^n - 1 - не умаляя общности натуральное
p - искомая дробь.

В нашем случае n = 1, a1 = 9
Получаем дробь 1/1.
Victor пишет:
13 октября 2009 в 19:54

0,(9) = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Рассмотрим это число как сумму убывающей геом. прогрессии. Тогда:
b0 = 0,9 (первый член)
q = 0,1 (знаменатель прогрессии)
Выразим сумму как частное по известным формулам:
0,(9) = 0,9 + 0,09 +... = S(0,9 ; 0,1) = b0 / (1-q) = 1

Вышеизложенное и есть представление бесконечной десятичной дроби в форме правильной. То же самое изложил и nogard, только я использовал готовую формулу, а он сделал её вывод прямо входе решения. Надеюсь вы не попросите меня сейчас доказывать верность этой формулы (я знаю доказательство, как и любой кто в школе учился а не просто отсиживался на уроках. Оно элементарно. К тому же, как я уже сказал, доказательство этой формулы содержится в решении nogard"a)

P.S. Я не буду говорить что задача высосана из пальца, но можно было сделать её интересной и наполненной смылсом, если бы вы представили софистической доказательство заведомо неверного факта (ну например что 1 > 0,(F) hex > 0,(9) dec ) и заставили бы нас его опровергать. В этом было бы некое остроумие, а сейчас мы уходим в настоящее издевательство
ggbwe пишет:
27 октября 2009 в 11:48

вот мой ответ:

x=0.(9)+ { [ 1 - 0.(9) ] /2 }
KosZ пишет:
3 декабря 2009 в 16:59

0.(0)1
Артемка пишет:
21 марта 2010 в 01:42

Математики всего мира признают, что 0,(9)=1

А сколько будет 0,(9)+0,(1)??? Тоже 1?
Kegdan пишет:
26 апреля 2010 в 22:41

0.(9)+0.(1) = 1.(1) )))
Kegd@n пишет:
27 апреля 2010 в 17:48

и вообще 0.(9) - вещественное, а 1 - рациональное.
они эквивалентны, но пренадлежат разным множествам.
starwars32 пишет:
11 июня 2011 в 14:15

КАК 0,(9) ЯБЛОКА МОГУТ БЫТЬ 1 ЯБЛОКОМ-НЕ ХВАТАЕТ 0,(1)
Virtus пишет:
13 июня 2011 в 14:06

Korney G пишет:
«…Как известно, между двумя рациональными числами можно найти ещё одно».

ЭТО НЕВЕРНО!
между двумя РАЗНЫМИ рациональными числами можно найти ещё одно, а Korney G пусть найдет между 0 и 0 еще одно число. 0,(9) - это просто другая запись для 1, которых можно привести сколько угодно: 1/1, 2/2, cos(0), I (римскими цифрами).
Лео пишет:
29 ноября 2011 в 21:07

Kegdan если смотреть, что 0.(9) + 0.(1) = 1.(1) то 0.(9) + 0.(9) = 2 (ответ: 1.(9)8) ! Это крайне глупо!
Рассмотрим основное доказательство того что 0.(9) = 1 (по мне так основное) это то что на между двумя РАЗНЫМИ рациональными числами можно найти ещё одно.
Да безусловно между 0.(9) и 1 мы не можем найти число, но только в меру недоделанности математики! каждое число мы умножим на два. То по идее между числом 0.(9)8 и 1 нет точки? а как же точка 1.(9)8 ??? (из вышесказанного)
Но так же есть доказательство через х = 0.99999999999999....
тогда 10х = 9.9999999999999999....
10х - х = 9.9999999999999..... - 0.999999999999.....
9х = 9
х = 1

Из всего вышесказанного 0.(9) равно и не равно 1, что УНИЧТОЖАЕТ математику. (докажите обратное пожалуйста)
Лео пишет:
29 ноября 2011 в 21:16

простите немного по ошибался. о по идее между числом 0.(9)8 и 1 нет точки? а как же точка 1.(9)8 ??? (из вышесказанного) тут не 1.(9)8 а 1.(9)
так же забыл сказать, что если 1 = 0.(9) => 2 = 0.(9) + 0.(9) и тогда уже расхождение! И да! Это недоделанность не математики а десятичной системы исчисления.
Ver_Wolf пишет:
6 декабря 2011 в 21:08

пацаны, я вообще, если честно, не приветствую запись 0.(9)8 ни коим образом, поскольку такого не чуществует и существовать не может. под записью 0.(9) мы понимаем бесконечное количество девяток, т.е. им нет конца и где там затисаться восьмерке? - это бред чистой воды. мы бесконечную дробь делаем конечной. это можете использовать, если создадите свою математику, там делайте что хотите(в 7 классе я тоже считал эту запись существующей). однако, с помощью этой записи попытаюсь обьяснить опровержение последнего доказательства, что 0.(9) = 1. в нем есть одна ошибка: 10x не равно 9.(9) и поэтому 9х не равно 9. эта погрешность равна "одной точке". я так называю бесконечно малое значение в этих случаях. итак,
х=0.(9)=0.(9)99.
тогда 10х=9.(9)90 и никак не равно 9.(9);
10х-х = 9.(0)1
х= 9/9.(0)1. или можно записать как 1-0 ( как пишут на первом курсе под лимитами если помните). таким образом это наоборот доказательство, что 0.(9) не равно 1. для понимания тяжело будет, но я думаю вы поймете. про остальные я ничего не буду говорить - я их не смотрел, поскольку отдыхаю курю кальян. если у кого что заинтересовало или будут вопросы или опровержения посьба писать:
http://vkontakte.ru/id153790795
ICQ: 200008300
и пожелание смотрите в корень проблемы и будьде бдительны к своим записям)) всегда рад пытаться опровергнуть ваши опровержения, чтобы добиться правды))