theJam.ru

ПознавательноВозведение в квадрат

8 сентября 2010 | Добавил:

Сегодня наткнулся на статью о скругленных прямоугольниках в дизайне макинтошей. Смысл статьи не главное. Удивило другое, не знал о таком свойстве чисел. Фрагмент из статьи:

Спо­соб Бил­ла ис­поль­зо­вал тот факт, что сум­ма по­сле­до­ва­тель­ных нечет­ных чи­сел все­гда яв­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим пол­ным квад­ра­том (на­при­мер, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и так да­лее).

Интересно, как называется данное свойство? И как это доказывается? Ведь наверняка, если такое свойство использовали в разработке алгоритмов значит оно должно действовать в 100% случаев.

Хотите регулярно получать новые задачи и познавательные топики? Подпишитесь на рассылку

Комментариев: 6

  1. katmoon пишет:

    Выглядит обалденно, а мат.индукцией доказывается элементарно :)

    Базу вы уже написали
    Пускай для k правило доказано: 1 + .. + (2k-1) = k^2
    Докажем для k+1:
    1 + .. + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k + 1) = (k+1)^2

  2. Serge пишет:

    katmoon, спасибо! Даже не подумал об индукции!

  3. Mitt9 пишет:

    Матиндукция - лучшее доказательство, но мне очень нравится показывать этот факт
    графически. Заметил это свойство квадратов, когда рассматривал квадратную кафельную
    плитку в бассейне в детстве.

    Имеем квадратную плитку.
    Очевидно, 1^2 = 1.
    Теперь, добавим к этому квадрату еще 3 квадрата (сверху, справа и по диагонали
    сверху-справа). Получаем 1 + 3 = 4.

    В общем случае, на каждом шаге имеем большой квадрат, состоящий из k квадратиков по
    стороне. Прибавляем k квадратиков сверху, k квадратиков справа и еще один по диагонали.
    Таким образом, на каждом ходу мы добавляем 2k+1 квадратик, чтобы дополнить
    имеющийся большой квадрат k*k до квадрата (k+1)*(k+1)

  4. ZEvS пишет:

    Да, Дональд Кнут посвятил в своем 3х томнике целую главу на эту тему.

  5. fez пишет:

    К черту индукцию =)
    Еще проще: у нас арифметическая прогрессия вида: ak=2k-1, ее сумма (1+2*n-1)*n/2=n^2
    P.S. формула суммы: ((a1+an)*n)/2

    с квадратной плиткой - это интересно.

  6. Virtus пишет:

    (n+1)^2-n^2=2n+1. Полагая n=0 и далее получим последовательные нечетные числа.

Комментировать!

Друзья, обращаю ваше внимание, что все бессмысленные и пустые сообщения будут удаляться, ровно как и комментарии с заведомо не существующми e-mail адресами. Спасибо!


Случайное:
ОБЗОР ИГРЫ ASSASIN’S CREED ROGUE
Assassin’s Creed Rogue, последняя на сегодняшний день «полноценная», если так можно сказать, часть и
Полезные советы перед началом прохождения The Witcher 3
Относительно недавно состоялся выход, наверное, одной из самых ожидаемых игр как в жанре RPG, так
История возникновения компьютерных игр
Многие пользователи интересуются феноменом огромной популярности индии - игр, несмотря на то, что мн
Обзор Игры FAR CRY 3
Far Cry 3 – это игра, которая у многих ассоциируется всего лишь с одним словом – «безумие». Мы играе
Какие бывают на данный момент типы компьютерных игр?
Классификация компьютерных игр – это достаточно спорный вопрос, поскольку на данный момент предостав


 
2005-2011 theДжем.ru - сайт для тех, кто умеет читать и думать. ↑ вверх
полезно знать