Возведение в квадрат | Познавательно

Сегодня наткнулся на статью о скругленных прямоугольниках в дизайне макинтошей. Смысл статьи не главное. Удивило другое, не знал о таком свойстве чисел. Фрагмент из статьи:

Спо­соб Бил­ла ис­поль­зо­вал тот факт, что сум­ма по­сле­до­ва­тель­ных нечет­ных чи­сел все­гда яв­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим пол­ным квад­ра­том (на­при­мер, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и так да­лее).

Интересно, как называется данное свойство? И как это доказывается? Ведь наверняка, если такое свойство использовали в разработке алгоритмов значит оно должно действовать в 100% случаев.

Возведение в квадрат | Познавательно: 6 комментариев

  1. Выглядит обалденно, а мат.индукцией доказывается элементарно 🙂
    Базу вы уже написали
    Пускай для k правило доказано: 1 + .. + (2k-1) = k^2
    Докажем для k+1:
    1 + .. + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k + 1) = (k+1)^2

  2. Матиндукция — лучшее доказательство, но мне очень нравится показывать этот факт
    графически. Заметил это свойство квадратов, когда рассматривал квадратную кафельную
    плитку в бассейне в детстве.
    Имеем квадратную плитку.
    Очевидно, 1^2 = 1.
    Теперь, добавим к этому квадрату еще 3 квадрата (сверху, справа и по диагонали
    сверху-справа). Получаем 1 + 3 = 4.
    В общем случае, на каждом шаге имеем большой квадрат, состоящий из k квадратиков по
    стороне. Прибавляем k квадратиков сверху, k квадратиков справа и еще один по диагонали.
    Таким образом, на каждом ходу мы добавляем 2k+1 квадратик, чтобы дополнить
    имеющийся большой квадрат k*k до квадрата (k+1)*(k+1)

  3. К черту индукцию =)
    Еще проще: у нас арифметическая прогрессия вида: ak=2k-1, ее сумма (1+2*n-1)*n/2=n^2
    P.S. формула суммы: ((a1+an)*n)/2
    с квадратной плиткой — это интересно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *